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ぽよ( Poyo_F )さんの数遊び

ぽよさんんがつぶやいておられた数遊びの中からとりあえず10月以降分くらいを抜き出してまとめました。 リアルタイムで読んでいると追いつけなかったので、とりあえず後でじっくり自分が読み返す用です。 順番通りにまとめたつもりですが、過不足や乱れがあれば、誰でも編集可にしておきますので編集してください。
数学 ぽよ 平方数 数遊び 魔方陣
1
10月12日----------------------------------
ぽよ @Poyo_F
239はいい感じの数だ。自然数の3乗になっている数を立方数という。殆どの自然数は8個以下の立方数の和になっているが、23と239だけ、どうしても9個の立方数が必要だ。特にこの239、「よろしく」=4649に掛け算すると、また、いい感じなんだな、これが。
ぽよ @Poyo_F
2011年の11月11日、野々市町は野々市市になった。「々」を使って書くと野々市々、漢字のゾロ目だ。だからかどうかは知らないが、石川で11番目の市で、11時から記念式典があったそうだ。ゾロ目尽くしで中々粋ではないか。どうせなら、誕生宣言は11分11秒にやってもらったら面白かった。
11月11日----------------------------------
ぽよ @Poyo_F
11月11日と言えば、1993年の11月11日、ぽよはワシントンDCで茫然としていた。その前日の夜中、クレジットカードでお金を引き落とした後、カードを取り忘れて10秒後に戻った所、目の前でATMマシンにカードが呑み込まれたのだ。翌日その銀行窓口に行こうとしたら祝日で閉まっていた。
ぽよ @Poyo_F
1918年、第一次世界大戦が終結したとき、11月11日午前11時に連合国とドイツとの間で休戦協定が結ばれた。このため、連合国側の国々では、この日が祝日になっている。ぽよがカードをATMに取られて茫然としていた、この日はアメリカではベテランズデー(退役軍人の日)となっていた。
ぽよ @Poyo_F
11と言えば最初のrepunit(repeated unit)で、これの2乗の121は、1+3+9+27+81であるので、3進数のrepunitの11111になっている。(1+x)の2乗を展開した式の各項の係数も、この121の各位の数になる。3乗の場合の係数についても同様だ。
ぽよ @Poyo_F
対称な数(121,1331,14641...)の各位の数をピラミッド型に積んだパスカルの3角形では、隣り合う2つの数を加えるだけで次の行の数が得られる。これらは11の累乗でも得られる。ところが14641の次でこれは失敗する。もっと大きな桁のパスカルの3角形を得るには101を使う。
ぽよ @Poyo_F
11と言えば、確か11!+1も11#+1も素数となる珍しい数だった。(#というのは、素数を順番に並べた階乗を求める記号)今、確かめられないので、間違ってたらごめん。
ぽよ @Poyo_F
たまたま出てきた本当にどうでもいい数 #9739369 が思いがけず面白かった。何故かというと、1997×4877という、中々見つけられない大きな素数の積だった事。もっと面白いのは、この数自身とこの数の2乗の両方が、2つの平方数の和で2通りに表せる事だ。具体的な値は次ツィで。
11月21日----------------------------------#9739369
ぽよ @Poyo_F
#9739369 の続き⇒ 「 9739369 =613の2乗+3060の2乗=1088の2乗+2925の2乗 」 だし、 「9739369の2乗=3751560の2乗+8987831の2乗=6364800の2乗+7371881の2乗 」 が成り立つ。
ぽよ @Poyo_F
#9739369 について、何より面白いのは、これに9をかけた数が、中々いい。電卓で計算できるので、ここには敢えて書かないけどネ。
ぽよ @Poyo_F
#9739369 が平方数の和で2通りに表せるだけでなく、この数の2乗も同様に平方数の和で2通りに表せるのが珍しいと書いたけど、実はこれ、珍しいのは前半の「平方数の和で2通りに表せる」という部分だけ。後半の部分は前半が成り立てばいつでも成り立つ。その理由は次ツィで。
ぽよ @Poyo_F
#9739369 の続き。ブラーマグプタの二平方恒等式( http://t.co/Tb934P1y )、つまり、aの平方数をa2と書く流儀で(a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2+(ad-bc)2=(ac-bd)2+(ad+bc)2が成り立つというやつが、その根拠。
ぽよ @Poyo_F
#9739369 つまり2平方数の和で表せる数を2つ用意して、その積を考えると必ず2平方数の和で2通りに表せるという式なの。だからある数nが、n=a2+b2=c2+d2と2通りの方法で平方数の和で書けていたらブラーマグプタの左辺は(a2+b2)(c2+d2)=n2になるからね。
ぽよ @Poyo_F
#9739369 というわけで、2平方数の和で2通りに書けるような数が気になって計算してみた。そしたら結構あって、小さいのから10個程書いてみると、50、65、85、125、130、145、170、185、200、205。。一年の日数365なんかもそう。(0や負数は含めない)
ぽよ @Poyo_F
#9739369 というわけで、2平方数の和で2通りに書けるような数が気になって計算してみた。そしたら結構あって、小さいのから10個程書いてみると、50、65、85、125、130、145、170、185、200、205。。一年の日数365なんかもそう。(0や負数は含めない)
ぽよ @Poyo_F
ここまできたら、2平方数の和で3通りに書けるような数を調べたくなるのは人情というもの。最初の10個は、325、425、650、725、845、850、925、1025、1250、1300。。だったよ。もう、 #9739369 とは関係なくなったね。
ぽよ @Poyo_F
もうついでなので、2平方数の和で4通りに書けるものの最初の10個も書くと、1105、1625、1885、2125、2210、2405、2465、2665、3145、3250。。。 #9739369
ぽよ @Poyo_F
きりがないので、それぞれの最小の数を書いてみると、2通り→50、3通り→325、4通り→1105、5通り→8125、6通り→5525だった。5通りと6通りが逆転しているのが面白いね。 #9739369
ぽよ @Poyo_F
こういうのは具体例も大切なので書くと:50=1★2=5★5、325=1★18=6★17=10★15、1105=4★33=9★32=12★31=23★24、但し、a★bは、ここでは(aの2乗+bの2乗)を求める記号です。 #9739369
ぽよ @Poyo_F
更に、5通り、6通りで書ける場合も書くと、8125=5★90=27★86=30★85=50★75=58★69、5525=7★74=14★73=22★71=25★70=41★62=50★55。。。と続く。但し記号★は、a★b≡(aの2乗+bの2乗)を計算する。 #9739369
ぽよ @Poyo_F
ある数nを、2平方数の和で表す方法の数r(n)を表すアルゴリズムは、ヤコビの二平方定理( http://t.co/dYIGUhyQ )という名前で呼ばれる古くからの話題。でも、これは数学的にすっきりさせるために、負数や0を含めるので、ぽよ的にはNGです。 #9739369
ぽよ @Poyo_F
答えが奇数になるので、奇数+奇数や偶数+偶数は、どちらも偶数になってだめなのです。 RT @kado_ken 組み合わせが奇数に偶数で重なり具合の違い?ですか? #9739369
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コメント

ゆ〜たん @Iutach 2011年12月8日
むかし矢野先生の本で読んだ「数学者の運転する車になんか乗るものじゃない。なにせ運転中に、『前の車のナンバーは素数かどうか』なんて考え始めるんだから」という箴言をふと思い出しました。数学の深い素養のある人にはこの世界がいったいどう見えているのだろうなぁ。
Kim TaeDoo @taedookim 2011年12月19日
新しい数日分のツイートを追加しました。
Kim TaeDoo @taedookim 2012年2月7日
とりあえず、たまっていた2か月分を追加。区切りを入れるのは後でやります。
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