ぽよ（ Poyo_F ）さんの数遊び

ぽよ @Poyo_F

239はいい感じの数だ。自然数の3乗になっている数を立方数という。殆どの自然数は8個以下の立方数の和になっているが、23と239だけ、どうしても9個の立方数が必要だ。特にこの239、「よろしく」＝4649に掛け算すると、また、いい感じなんだな、これが。

ぽよ @Poyo_F

2011年の11月11日、野々市町は野々市市になった。「々」を使って書くと野々市々、漢字のゾロ目だ。だからかどうかは知らないが、石川で11番目の市で、11時から記念式典があったそうだ。ゾロ目尽くしで中々粋ではないか。どうせなら、誕生宣言は11分11秒にやってもらったら面白かった。

ぽよ @Poyo_F

11月11日と言えば、1993年の11月11日、ぽよはワシントンDCで茫然としていた。その前日の夜中、クレジットカードでお金を引き落とした後、カードを取り忘れて１０秒後に戻った所、目の前でATMマシンにカードが呑み込まれたのだ。翌日その銀行窓口に行こうとしたら祝日で閉まっていた。

ぽよ @Poyo_F

１９１８年、第一次世界大戦が終結したとき、11月11日午前11時に連合国とドイツとの間で休戦協定が結ばれた。このため、連合国側の国々では、この日が祝日になっている。ぽよがカードをATMに取られて茫然としていた、この日はアメリカではベテランズデー（退役軍人の日）となっていた。

ぽよ @Poyo_F

11と言えば最初のrepunit(repeated unit)で、これの2乗の121は、1＋3＋9＋27＋81であるので、3進数のrepunitの11111になっている。（1＋x）の2乗を展開した式の各項の係数も、この121の各位の数になる。3乗の場合の係数についても同様だ。

ぽよ @Poyo_F

対称な数（121,1331,14641...）の各位の数をピラミッド型に積んだパスカルの3角形では、隣り合う2つの数を加えるだけで次の行の数が得られる。これらは11の累乗でも得られる。ところが14641の次でこれは失敗する。もっと大きな桁のパスカルの3角形を得るには101を使う。

ぽよ @Poyo_F

11と言えば、確か11！＋1も11＃＋1も素数となる珍しい数だった。（＃というのは、素数を順番に並べた階乗を求める記号）今、確かめられないので、間違ってたらごめん。

ぽよ @Poyo_F

たまたま出てきた本当にどうでもいい数 #9739369 が思いがけず面白かった。何故かというと、1997×4877という、中々見つけられない大きな素数の積だった事。もっと面白いのは、この数自身とこの数の２乗の両方が、２つの平方数の和で2通りに表せる事だ。具体的な値は次ツィで。

ぽよ @Poyo_F

#9739369 の続き⇒ 「 9739369 =613の２乗+3060の２乗=1088の２乗+2925の２乗　」 だし、 「9739369の２乗=3751560の２乗+8987831の２乗=6364800の２乗+7371881の２乗　」 が成り立つ。

ぽよ @Poyo_F

#9739369 について、何より面白いのは、これに９をかけた数が、中々いい。電卓で計算できるので、ここには敢えて書かないけどネ。

ぽよ @Poyo_F

#9739369 が平方数の和で２通りに表せるだけでなく、この数の２乗も同様に平方数の和で2通りに表せるのが珍しいと書いたけど、実はこれ、珍しいのは前半の「平方数の和で2通りに表せる」という部分だけ。後半の部分は前半が成り立てばいつでも成り立つ。その理由は次ツィで。

ぽよ @Poyo_F

#9739369 の続き。ブラーマグプタの二平方恒等式（ http://t.co/Tb934P1y ）、つまり、aの平方数をa2と書く流儀で(a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2+(ad-bc)2=(ac-bd)2+(ad+bc)2が成り立つというやつが、その根拠。

ぽよ @Poyo_F

#9739369 つまり2平方数の和で表せる数を２つ用意して、その積を考えると必ず2平方数の和で2通りに表せるという式なの。だからある数ｎが、n=a2+b2=c2+d2と2通りの方法で平方数の和で書けていたらブラーマグプタの左辺は(a2+b2)(c2+d2)=n2になるからね。

ぽよ @Poyo_F

#9739369 というわけで、2平方数の和で2通りに書けるような数が気になって計算してみた。そしたら結構あって、小さいのから１０個程書いてみると、50、65、85、125、130、145、170、185、200、205。。一年の日数365なんかもそう。（0や負数は含めない）

ぽよ @Poyo_F

#9739369 というわけで、2平方数の和で2通りに書けるような数が気になって計算してみた。そしたら結構あって、小さいのから１０個程書いてみると、50、65、85、125、130、145、170、185、200、205。。一年の日数365なんかもそう。（0や負数は含めない）

ぽよ @Poyo_F

ここまできたら、2平方数の和で3通りに書けるような数を調べたくなるのは人情というもの。最初の10個は、325、425、650、725、845、850、925、1025、1250、1300。。だったよ。もう、 #9739369 とは関係なくなったね。

ぽよ @Poyo_F

もうついでなので、2平方数の和で４通りに書けるものの最初の１０個も書くと、1105、1625、1885、2125、2210、2405、2465、2665、3145、3250。。。 #9739369

ぽよ @Poyo_F

きりがないので、それぞれの最小の数を書いてみると、2通り→50、3通り→325、4通り→1105、5通り→8125、6通り→5525だった。５通りと６通りが逆転しているのが面白いね。 #9739369

ぽよ @Poyo_F

こういうのは具体例も大切なので書くと：50=1★2=5★5、325=1★18=6★17=10★15、1105=4★33=9★32=12★31=23★24、但し、a★bは、ここでは（aの2乗＋bの2乗）を求める記号です。 #9739369

ぽよ @Poyo_F

更に、５通り、６通りで書ける場合も書くと、8125=5★90=27★86=30★85=50★75=58★69、5525=7★74=14★73=22★71=25★70=41★62=50★55。。。と続く。但し記号★は、a★b≡(aの2乗＋bの2乗)を計算する。 #9739369

ぽよ @Poyo_F

ある数nを、2平方数の和で表す方法の数r(n)を表すアルゴリズムは、ヤコビの二平方定理( http://t.co/dYIGUhyQ )という名前で呼ばれる古くからの話題。でも、これは数学的にすっきりさせるために、負数や０を含めるので、ぽよ的にはNGです。 #9739369

ぽよ @Poyo_F

答えが奇数になるので、奇数＋奇数や偶数＋偶数は、どちらも偶数になってだめなのです。 RT @kado_ken 組み合わせが奇数に偶数で重なり具合の違い？ですか？ #9739369