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火曜日生まれの男子の問題

ある母親には子供が2人います。その人に、「あなたは、火曜日に生また男のお子さんをお持ちですか?」と尋ねたところ、彼女は「はい」と答えました。このときに、もう1人の子供も男の子である確率を求めなさい。男女の生まれる確率は1:1で、どの曜日にも等確率で生まれるとします。(コメントを受けて、一部修正を加えました) この問題がslashdotで取り上げられました。 http://slashdot.jp/science/article.pl?sid=10/07/01/0036229
数学 確率 math
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Haruhiko Okumura @h_okumura 2010-05-28 18:10:22
子どもが二人いる。(少なくとも)一人は男で火曜日に生まれた。二人とも男である確率は? http://www.stat.columbia.edu/~cook/movabletype/archives/2010/05/hype_about_cond.html
kos59125 @kos59125 2010-05-28 18:43:37
@h_okumura p: 「両方男で少なくとも片方が火曜日生まれ」, q: 「男と女で男が火曜日生まれ」とすると p = (1/2)^2*(1-(6/7)^2), q = 2*(1/2)^2*(1/7) なので p/(p+q) = 13/27。
Haruhiko Okumura @h_okumura 2010-05-28 20:37:55
残念ながら1/3ではありません。「火曜日」という情報で確率が変わります RT @sr0000: @h_okumura 1/3
Haruhiko Okumura @h_okumura 2010-05-28 20:39:19
正解 RT @kos59125: @h_okumura p: 「両方男で少なくとも片方が火曜日生まれ」, q: 「男と女で男が火曜日生まれ」とすると p = (1/2)^2*(1-(6/7)^2), q = 2*(1/2)^2*(1/7) なので p/(p+q) = 13/27。
Haruhiko Okumura @h_okumura 2010-05-28 22:51:06
なるほど,わかりやすいですね RT @yuya_bonten: @h_okumura 13/27を図示すると、こういうことでしょうか。http://bit.ly/bt6Kya
yossie☘pon @yossiepon 2010-05-28 23:17:25
RT @h_okumura: 正解 RT @kos59125: @h_okumura p: 「両方男で少なくとも片方が火曜日生まれ」, q: 「男と女で男が火曜日生まれ」とすると p = (1/2)^2*(1-(6/7)^2), q = 2*(1/2)^2*(1/7) なので p/(p+q) = 13/27。
ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten 2010-05-29 10:24:40
@h_okumura 正答を読んだあとも、自分で図を描いたあとですら、「曜日の情報は関係ない」という直感が否定できず、ずーーーっと考えてました。以下の考え方で合っていますでしょうか?
ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten 2010-05-29 10:25:53
@h_okumura 「両方とも男」の場合、どちらが火曜生まれでもよいので、49通りのうち36通りしか除外されない。一方、「男女ひとりずつ」の場合、女のほうが火曜生まれでもダメなので、42通りもの可能性が除外される。つまり、曜日の文言によって追加される【情報の重み】が異なる。
ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten 2010-05-29 10:26:32
@h_okumura 例え話:当たる確率13/49のくじか、7/49のくじか、好きなほうを選んで引いたら、実際に当たった。どっちのクジを選んだ確率が高いか?うぉ、尤度だ。ベイズ確率だ。
ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten 2010-05-29 10:27:03
.@h_okumura 直感が誤っていたことを他の方法で裏付けても、分かった気がしないですね。もとの直感のどこが誤っていたか、より直感的に説明できなければ。
Haruhiko Okumura @h_okumura 2010-05-29 11:01:06
その通りですね。そもそも男女だけでもill-definedなところがあります RT @yuya_bonten: .@h_okumura 直感が誤っていたことを他の方法で裏付けても、分かった気がしないですね。もとの直感のどこが誤っていたか、より直感的に説明できなければ。
Haruhiko Okumura @h_okumura 2010-05-29 11:06:03
改めて出題。子どもが二人いる。(少なくとも)一人は男で火曜日に生まれた。二人とも男である確率は?(「火曜日に」を聞かなかった場合の確率も求めてください)
Haruhiko Okumura @h_okumura 2010-05-29 11:40:52
伝統的な解答は,火曜日という情報があれば13/27,なければ1/3ですが,直感とは矛盾するように見えます。
Haruhiko Okumura @h_okumura 2010-05-29 12:42:50
子ども二人の親に「火曜日生まれの男の子をお持ちですか?」と聞いて「はい」の場合は,確率13/27でもう一人も男子。これは確実
Haruhiko Okumura @h_okumura 2010-05-29 12:47:40
子ども二人の親に「男の子をお持ち?」→「はい」と,「男か女か答えてください。両方の場合はランダムにどちらかを」→「男です」とでは意味が違う。この問題は前者
tomokazu imamura @pacuum 2010-05-29 13:00:03
@h_okumura 面白いですね。曜日を日付に変えた場合ほぼ1/2の確率。「もう一人は月曜」だと1/2。「もう一人も火曜日」なら1/3。与えられた追加情報によって1/3と1/2の間を移動しますね。
Haruhiko Okumura @h_okumura 2010-05-29 13:05:51
はい,まさにそういうことです RT @pacuum: @h_okumura 面白いですね。曜日を日付に変えた場合ほぼ1/2の確率。「もう一人は月曜」だと1/2。「もう一人も火曜日」なら1/3。与えられた追加情報によって1/3と1/2の間を移動しますね。
ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten 2010-05-29 15:45:55
@h_okumura 考察してます。子供が二人いる親が、以下のうちのひとつを発言した。(A)一人は男。(B)上の子は男。(C)火曜生まれと金曜生まれがいて、火曜のほうは男。(C)一人は○×☆#、もう一人は違う。○×☆#なほうは男
ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten 2010-05-29 15:46:19
@h_okumura もう一人も男である確率は、(A)だけ1/3、(B)(C)(D)はすべて1/2。子供を区別する方法は「上の子・下の子」である必要はない。この辺が「男女ですらill-defined」な一面でしょうか。
ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten 2010-05-29 15:47:53
@h_okumura 二人とも火曜生まれという(かなりレアな)場合を除き、「火曜生まれの男の子がいる」というのは、「火曜生まれとそうでない子がいて、前者は男」と言っているに等しい。つまり、(完全でないにせよ)二人のうちのどちらかを特定して述べている。だから1/2に近い値になる。
Haruhiko Okumura @h_okumura 2010-05-29 16:26:25
@yuya_bonten そういうことだと思います。なお,問題のあいまいな点は12:47:40につぶやいた通りです(「男の子をお持ち?」→「はい」と,「男か女か答えてください。両方の場合はランダムにどちらかを」→「男です」とでは意味が違う)
ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten 2010-05-29 16:48:59
@h_okumura ご教授ありがとうございます。「二人の子供の一人を呼び寄せたら男だった」というのと「二人の子供の中に男の子が含まれていた」の違いですね。
カレーさん★ @kitamurakenji 2010-05-29 16:56:28
RT @h_okumura: 正解 RT @kos59125: @h_okumura p: 「両方男で少なくとも片方が火曜日生まれ」, q: 「男と女で男が火曜日生まれ」とすると p = (1/2)^2*(1-(6/7)^2), q = 2*(1/2)^2*(1/7) なので p/(p+q) = 13/27。
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コメント

扶桑委員会@C94三日目日曜東V-18a @fussoo_moe 2010-05-29 20:44:21
 むぅ、さっぱりわからん。火曜日という情報がない場合に、1/3となる理由もわからん。場合としては、少なくとも一人は男であることが確定しているのだから、もう一方は男か女かの二択だと思うんだが、違うらしい。
扶桑委員会@C94三日目日曜東V-18a @fussoo_moe 2010-05-29 20:52:40
 ああ、それともこの1/3とは、二人とも女だった場合も含めているのか?だととすれば何となく理解できるが(途中の数式を見るとそんな感じ)
Toriliver Stratos @toriliver 2010-05-29 23:36:19
しばらく考えて結局分からなかったけど(^^ 脳の中の普段使ってない筋肉を動かした感じだ。
来年から本気出しmast @mast012 2010-05-29 23:49:32
ゆとりの俺には厳しすぎる…。順番を追って考えると、(1)2人の子供がいる、(2)子供の性別のパターンは男男、男女、女男、女女の4パターン
来年から本気出しmast @mast012 2010-05-29 23:51:58
(3)そのうち一人は男といってるから、女女のパターンはない → ココでもう一人が男の確率は1/3 うん、ココまではOK
来年から本気出しmast @mast012 2010-05-29 23:59:44
いや、俺が考えた(2)のパターンは正しくないのか。曜日生まれという条件が入ってるから…男月×男月、男月×男火…女日×女土、女日×女日と羅列すると、49通りが4パターンで196通り。
来年から本気出しmast @mast012 2010-05-30 00:07:57
で、火曜日に生まれ男が一人いることが確定してるから、まずは女×女の49通りが減って、147通りにしぼられる。…で、火曜日に生まれ男が(一人でも)入るパターンは21通り。内、男だけなのは7通り。ホントか、オレ?
来年から本気出しmast @mast012 2010-05-30 00:18:55
あ~! やっと途中出てきた図の意味が分かった。丸と四角は男と女で、黒丸が火曜生まれ男のパターンか! え~、ゆとりらしく数えると…13/27になりますね。納得。
来年から本気出しmast @mast012 2010-05-30 00:25:35
やっと発言の中身(情報の重み)が分かった…。 QT @h_okumura 子ども二人の親に「男の子をお持ち?」→「はい」と,「男か女か答えてください。両方の場合はランダムにどちらかを」→「男です」とでは意味が違う。この問題は前者
ミルキー☆いちぢく @quassia88 2010-05-30 01:43:30
A = 第1子が男 ∩ 第2子が男 B = (第1子が男 ∩ 第1子が火曜日生) ∪ (第2子が男 ∩ 第2子が火曜日生) とおく。 求める確率は P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
ミルキー☆いちぢく @quassia88 2010-05-30 01:45:11
P(A∩B) =  P(第1子が男 ∩ 第2子が男 ∩ 第1子が火曜日生) + P(第1子が男 ∩ 第2子が男 ∩ 第2子が火曜日生) - P(第1子が男 ∩ 第2子が男 ∩ 第1子が火曜日生 ∩ 第2子が火曜日生) = 1/4*1/7 + 1/4*1/7 - 1/4*1/49 = 13/196 P(B) = 1/2*1/7 + 1/2*1/7 - 1/4*1/49 = 27/196
コレロ @coorrelo 2010-05-30 01:51:55
ただ、母親が「火曜日に生また男のお子さんをお持ちですか?」と聞かれて「はい」と答える場合の中に、 2人ともが、火曜日以外に生まれた男の子の場合が加味されていないからでは? そもそも追加された情報が、条件を変えてる。 本質的に、条件が変わらないのに、確率が変わるはずはない。
ミルキー☆いちぢく @quassia88 2010-05-30 01:53:06
したがって、P(A|B) = 13/27 。計算は合ってる。もう少し抽象化して、男の子が生まれる確率をp, 火曜日に生まれる確率をq とすれば、もう少しわかりやすくなるな。でも、今日はもう眠い。
zunda @zu_n_da 2010-05-30 05:21:06
子どもを二人持つ親に「火曜日生まれの男の子をお持ちですか?」と聞いて「はい」と答えた場合、考えられる組み合わせが27パターン。
zunda @zu_n_da 2010-05-30 05:21:16
男(火)男(火)[1]、男(火)男(月,水〜日)[6]、男(月,水〜日)男(火)[6]、男(火)女(月〜日)[7]、女(月〜日)男(火)[7]
zunda @zu_n_da 2010-05-30 05:22:05
そのうち、両方とも男なのが13パターン。なので、13/27。
zunda @zu_n_da 2010-05-30 05:41:28
追加情報が、二人のうちのどちらにかかっているか曖昧なほど1/3(追加情報がない場合の確率)に近くなって、追加情報が二人のうち片方を特定してしまっているような場合は1/2(男女の2択)に近くなる?
ta @_ta_tam_ 2010-05-30 10:53:57
一般的な感覚からすると、なんか腑に落ちないです。たぶん、時間軸の考慮がされていないからだと思います。条件が示された時点で問題内容が"もう1人の子供も男の子"から"この子どもが男の子"に変わるのではないでしょうか?
姓名 @haganetan 2010-05-30 14:56:55
「火曜日に生また男のお子さんをお持ちですか?」と「もう1人の子供」との間に因果関係を感じない。
ミルキー☆いちぢく @quassia88 2010-05-30 18:00:31
昨日の続き。求める確率はp(2-q)/(2-pq)になる。p=1/2を代入すると、(1-q/2)/(2-q/2)。なるほど、1/2と1/3の間の値になる。しかし、相変わらず、男か女かに独立な個人情報によって、確率が変動するのが納得できない・・・。
potasiumch @potasiumch 2010-05-30 18:13:12
元ブログで、なぜこれが直感で解けないのかについて面白い議論がありますね。同型の問題として「男の子が緑色の靴下を履いていた」としても確率は変わりますが、計算は出来ない。例として全事象を数えられるような特殊例を挙げるから変な気がするだけで、自然界の中で意思決定の役に立たないような種類の思考は直感として実装されるわけがないと。
suiheilibe @Antouchable 2010-05-30 18:40:10
子供二人が区別されていて、「子供1が男のとき、子供2が男である確率」ならば1/2になるんだよな。A:「子供1が男」、B:「子供2が男」とすれば、P(B|A)=P(A,B)/P(A)=(1/2*1/2)/(1/2)=1/2
suiheilibe @Antouchable 2010-05-30 18:45:19
一方、二人の子供のうち、A:「少なくともどちらか一方は男」、B:「両方が男」のとき、P(B|A)=P(A,B)/P(A)=(1/2*1/2)/(1-1/2*1/2)=1/3か。ここまでは理解出来た
hiro_wata @hiro_wata64 2010-05-30 18:55:11
これ、質問者が「火曜日生まれの男の子いますか?」ときいて「はい」と答えさせるところがミソで、二人の子供を持つ親が「うちに火曜日生まれの男の子がいます」と向こうから言っても1/3のままなんだよね?
suiheilibe @Antouchable 2010-05-30 19:08:46
これがA:「少なくともどちらか一方は男かつ火曜日生まれ」になると、P(B|A)=P(A,B)/P(A)=(1/2*1/2*(1-6/7*6/7))/(1-1/2*1/2-1/2*1/2*6/7*6/7-2*1/2*1/2*6/7)=(1/4*13/49)/(1-1/4-9/49-3/7)=(13/196)/(27/196)=13/27か。もちろん、生まれる曜日と性別は独立(言葉の使い方間違ってるかも…)であるということを仮定。自分が納得するためのものなので、説明不足失礼
Yusuke Yamasaki @yyamasak 2010-05-31 00:45:54
全然分からん。高校生の頃、確率の問題が嫌いだったことを思い出す。事務的に正解を書くことはできたけど、宝くじの真の当選確率は2分の1であるというのを心の底では信じていた。いや今でも。やっぱり数学的才能はないんだと思う。
chuujou @chuujou 2010-05-31 18:51:55
てっきり二人目が男の子である事前確率を求める問題かと思ったら、いたしてしまった後の事後確率?を求める問題だったのね。ちなみにヤオイ的には150%ですかね(3人目も男である確率が50%)
@malone_machine 2010-06-05 16:35:25
今さらだけど生まれる男女比1対1かつ各曜日等しい確率で子供が生まれるという条件は問題文に欲しい。細かい事だけど。
ukyo @ukyo 2010-06-08 03:37:07
A:少なくとも一人は火曜日の男の子がいる、B:両方が男の子である。求めるのはAが成り立つときにBになる確率。式にするとP(B|A)。ちなみにP(X)というのはXが起こる確率。ベイズの定理によると、P(B|A)=P(A|B)P(B)/P(A)でこれを計算すると13/27になるってことだそうです。
nobuo iizuka @snobiiz 2010-06-09 22:59:00
これ、サンプリングからの推定の話なのに、「子供」ってキーワードで引っ張って、発生確率1/2に直感を引っかからせるところが面白い。もちろん最初、間違えました。
w-woods @doublewoods 2010-08-10 22:03:12
双子を考慮する問題かと思ったら、違ってたようだ... orz
積分定数 @sekibunnteisuu 2016-10-27 12:30:48
全情報を知っている人が情報の一部を任意に開示している問題なので、確率の問題として不適。 「子供が2人の家庭から、火曜日生まれの男の子がいる家庭を無作為に1つ選ぶ。この家庭の子供が2人とも男の子の確率は?」 とでもすべき。
積分定数 @sekibunnteisuu 2016-10-27 12:35:50
「うちには男の子がいます」だと2にとも男の確率が1/3 「その子は火曜日に生まれました」だとこれが13/27 「その子は9月生まれです」と情報が付け加わると、もっと1/2に近づく。 生まれた時刻を言うともっと1/2に近づく。 おかしいでしょ?
積分定数 @sekibunnteisuu 2016-10-27 12:39:03
親が情報を開示するに従って2人とも男子の確率が1/2に近づくのはおかしい。これは情報開示が任意で恣意的だから。
積分定数 @sekibunnteisuu 2016-10-27 13:57:25
しまった、この問題は妥当だった。「私には2人の子供がいる。そのうちの1人は男の子だ。私の子供が2人とも男の子である確率は?」という問題だと確率の問題として不適。
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