「√2 = 2の証明」あるいは「斜面と階段のナゾ」

思った以上に沢山の人達から解答をもらったので、せっかくなのでまとめてみました。 みなさんからの解答の中にもありますが、これはもともと「半円を無限に分割したら」というパラドックスから着想を得たものです。 とあるところで話題に出したら大いに盛り上がったのでせっかくなので分かりやすい解答を求めて投げてみた結果です。 続きを読む
幾何学 無限 パラドックス 数学
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目次
  • 問題の概要
  • 直後の反応(苦悩の叫びと解答)
  • Togetter後の反応
  • 解答1. 服部先生の解説
  • 解答2. AとB-∞は一致する
  • 解答3. 長さの差はどこから来るのか
  • 解答4. 高校生向け解説
  • まとめ
問題
青子守歌 @aokomoriuta
数学得意な人へ:「√2 = 2の証明」あるいは「斜面と階段のナゾ」 http://t.co/WPGqYFor
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青子守歌 @aokomoriuta
「無限に分割した階段は真っ直ぐの斜面にならないのか」問題とも言える?
分からなかった人たちの苦悩の叫び
Yoshihiko Toda @TyePass
やば。魔法みたい。 RT @aokomoriuta: 数学得意な人へ:「√2 = 2の証明」あるいは「斜面と階段のナゾ」 http://t.co/03nlDFvX
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のちこ姫 @nochikohime
にゃうううう不思議ですヽ(;▽;)ノこまった!考えてみます!! RT @aokomoriuta: 数学得意な人へ:「√2 = 2の証明」あるいは「斜面と階段のナゾ」 http://t.co/yD5Z8VVX
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浅川たつろ@BLAM カイコクの会社 @tatsu_blam
すげー。誰か答えを教えてくれ。 RT @aokomoriuta: 数学得意な人へ:「√2 = 2の証明」あるいは「斜面と階段のナゾ」 http://t.co/e2jPux7b
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shun @okshun07
なるほど どう証明しようwww RT @murenezumi: RT @aokomoriuta: 数学得意な人へ:「√2 = 2の証明」あるいは「斜面と階段のナゾ」 http://t.co/44wLoiGN
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色々な人たちからの解答
まとめ 「√2 = 2の証明」あるいは「斜面と階段のナゾ」(すぐの反応) 「√2 = 2の証明」あるいは「斜面と階段のナゾ」 http://togetter.com/li/266622 が長くなったので、分割。 問題を投げた直後ぐらいにもらった解答を載せてます。 「前の人たち」というのがない状況での考え方なので、読んでいて興味深いところが多いです。 コメントなどは親まとめを参照&追加してください。 4464 pv 4 1 user 1
ここまでの結論?

折れ線を無限分割しても、直線にはならないのでは

togetter後に
まとめ 「√2 = 2の証明」あるいは「斜面と階段のナゾ」(togetter後) 「√2 = 2の証明」あるいは「斜面と階段のナゾ」 http://togetter.com/li/266622 が長くなったので、分割。 togetterをまとめた後にもらった解答を載せてます。 色々な人達の意見が出揃いつつの、それを受けてみなさんがどう考えたのかというのが分かりますね! コメントなどは親まとめを参照&追加してください。 また、自分の考えが載ってない!とかあったらつぶやきの追加歓迎です。 5896 pv 9 1 user

「自分はこう考えたんだけど!」というのがあれば、引き続き追加は大歓迎です!

ここのコメントか http://togetter.com/li/267272 へお願いします。

服部先生の解答
Tetsuya Hattori 服部哲弥 @tetshattori
去年誰かに sup位相で長さは連続関数にならない旨レスしたので,私はこの件はツイッター上ではボランティアを果たしたとして以後パス(^^ QT @t_uda おい誰か数学的にまともなコメントをしたやつはいないのか http://t.co/apnRImQ5
Tetsuya Hattori 服部哲弥 @tetshattori
ありがと!ちょうど半年前でしたか.よく見ると http://t.co/apnRImQ5 を45度傾けただけの図が半年前の http://t.co/AfTge9YL に既に QT @shz_fsmy 長さが一様収束位相に関し不連続であるという話を
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半年ぐらい前に同じ問題が出てたみたいです
Tetsuya Hattori 服部哲弥 @tetshattori
(長さを与える)写像を連続にする位相かどうかに無頓着なだけで,フラクタルは関係なさそう, QT @mjk_kstm 面積が0に収束しているから変におもえるのかな. フラクタルとかの話関係あんのかな? QT http://t.co/6Qq9yuD
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Tetsuya Hattori 服部哲弥 @tetshattori
http://t.co/6Qq9yuD は長さを与える写像f:{曲線}→Rと折線列xnについてlim f(xn)≠ f(lim xn)を問うてますが,f が不連続になる位相(曲線の類似度)を考えている,てことです.曲線の類似度(距離)は多様に付き注意てこと QT...
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Tetsuya Hattori 服部哲弥 @tetshattori
考えるのは自由だが連続性(fと極限の交換)が問題,折線近似で長さを求めるなら一様収束位相はダメ,一様収束位相使用中なら長さ関数は不連続ゆえ注意,と http://t.co/6Qq9yuD が教えます QTmaisudai 極限を考えたのが間違いなんでしょうか? @mjk_kstm
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Tetsuya Hattori 服部哲弥 @tetshattori
@maisudai (@がとぎれたかも,なので再送)問題図は長さを与える写像f:{曲線}→Rと折線列xnについてlim f(xn)≠ f(lim xn)を問うてますが,曲線の類似度(位相)は多様に付き注意で,f が不連続になる位相を考えている,てことです @mjk_kstm
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コメント

Tomoki UDA @t_uda 2012年3月2日
おい誰か数学的にまともなコメントをしたやつはいないのか
青子守歌 @aokomoriuta 2012年3月3日
@keno1728 さんの解答を追加しました。
M-鈴木 甲19 @kapitan_black 2012年3月3日
線の太さを定義しない(0とする)数学/幾何学上は無限に細かい階段状はどこまで行っても階段状でしかなく、もしも現実の現象で語るならば、線の太さが階段状の段差に近づくと、実際の経路を短縮し得るに過ぎないのですが
kartis56 @kartis56 2012年3月3日
現実に階段を無限に分割出来る人だけが、√2=2 と言っていいのでは
こぱやじたけじ @toranosuke_ko 2012年3月3日
前提条件の A)まっすぐ進む、B)折れて進む が見事に覆されとるw
KIMATA RobertHisasi @robert_KIMATA 2012年3月3日
ドヤ顔で間違えていた(笑)
九堂フレア @ooblog 2012年3月3日
半円長方形の場合「半径×(円周÷2)」だけど、階段→直線の場合「斜面=底辺(√2)×高さ(√1/2→0)÷2=面積(1/2→0)」、直線は面積が0だから「底辺(√2?)=面積(0)÷高さ(0)×2」。「÷0」解無し理論で「√2≠2」。
ツンデレ[Hikasaholica] @00_second 2012年3月3日
簡単に言うと、長さと距離は別物だから。曲線の長さは考えている距離(正確にはノルム)によって変わってくる。斜線の長さがAのような通常のユークリッド距離で考えれば√2だし、Bのようなマンハッタン距離という距離で考えれば2になる。
#53 @hsgwkyt 2012年3月3日
確かに√2=2を許すなら縦線または横線のみに着目して√2=1って言い張る事もできそうだなあ、直感的には。
かめ @kamesen 2012年3月3日
小文字をベクトル表記として2つの辺にあたるベクトルをa,b斜面をcとするとc=a+b。|c|=(a^2+b^2)^(1/2)これを分割(nを掛けたり割ったり)していくと|c|=|a|+|b|になることを示せば良いがこれは明らかに成立しない。つまり途中で絶対値の計算方法勘違いしているだけ。
hamp@横浜山中 @32hamp 2012年3月3日
数学にはスケールが関係しないのが原則だから、いくらモデル図の解像度的に同じに見えても、数学的にはイコールじゃ無い、でいいんじゃないかな。 と、個々まで書いて不思議に思ったのは「算数」じゃ円の直径を三角形の集合体とみなして、πr二乗を説明するんだけど、ここではこういった解像度の錯覚が使われてたんだよなw
てっぺー @Teppei_Yttria 2012年3月3日
直感的には、「一辺の長さが1の正方形の対角線は、折れ線との間にできた直角二等辺三角形の斜辺の和であって、残り二辺の和じゃない」ってことじゃないですかね。
くるみ(破産)@つむぎー @tumugite 2012年3月3日
√1=1だから、√a=aなので√2=2も成り立つ!ドヤッ!
GG @GG_WEB 2012年3月3日
n√((1/n)^2+(1/n)^2)=√2 nがいくら大きくなっても同じ。
  @sino11 2012年3月3日
ちょっと面白かった
momada1 @momada1 2012年3月3日
曲がる操作も無限になるってのがポイントなのかな とりあえず今は考え中
きら @kira_629 2012年3月3日
2,3段増やしたところで全く近づいてないんだから、このやり方を無限に繰り返しても近似できないってことやんね?
bra-ketくん @mac_wac 2012年3月3日
色々考えてるけど、きちんと問題を定式化して納得できる自分の数学力のなさに萎える。。
nekosencho @Neko_Sencho 2012年3月3日
将棋のこまだと、斜め前も一回でいけるよね
こぱやじたけじ @toranosuke_ko 2012年3月3日
ああ、途中で平面から球面の空間に変わったのか。 それなら成り立つんじゃね?(棒)
A.JOHNNY @ee_johnny 2012年3月3日
スタートを原点にとって縦横で分けて考えれば図のように極限をとってもx 方向に1、y方向にも1進んでいてそれが経路の合計2。進んだ直線距離は√(1^2+1^2)=√2。ってことかな?よくわかんないけど・・・(´・ω・`)
無印粗品 @mujisoshina 2012年3月3日
階段の段差をどれだけ小さくしても数学的には階段だが、物理的・視覚的に段差を無視できるレベルでは斜面との違いが認識されない。B-∞=Aは視覚的には正しく数学的には誤り。
黒菽🌀 @bbtyph 2012年3月3日
この動画が思い浮かんだ。「かっこいい階段の降り方」 http://www.youtube.com/watch?v=BtmFBKpUDQc
青子守歌 @aokomoriuta 2012年3月3日
.@tetshattori 先生から教えていただいた解答と @dorathekid999 さんとのやりとりを最後に追加しました。
猫鹿 @nekaneka7 2012年3月3日
何かフラクタルっぽい・・・と思ったらもう言われてましたね。
語られざるもの、悉若無@神精宝具開発中(🌳)(💧) @L_O_Nihilum 2012年3月3日
ゼノンのパラドクスを思い出す。どうしよこれ、ドゥルーズ先生!
青子守歌 @aokomoriuta 2012年3月4日
長くなってきてたので2つ分割しました。解答は引き続き募集中です!
青子守歌 @aokomoriuta 2012年3月4日
ちなみに、まとめているときに、 @tetshattori さんと @t_uda さんの面白そうなやりとりを発見したんですが、外れそうだったのでここには載せない方向で。興味のある方は読んでみると面白いかもです!
青子守歌 @aokomoriuta 2012年3月7日
その後の @t_uda @keno1728 @tetshattori @tsatie (敬称略)との話をまとめて、解答および結論らしきものを載せました。
青子守歌 @aokomoriuta 2012年3月13日
1/nの長さのヒモをnコ並べてツナを作る。無限個のヒモを並べた時、ツナの長さは0か1か。
けふ @kef_in_kyoto 2015年2月17日
今年の慶応理工学部の第3問(4)に出てたなこれ。出題では直角の段ではなく、傾きのある線分で分割された水平なステップ部分を繋いだ階段の長さをnで表して、極限取って2、だったけど。
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