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自然数から四元数まで #N_to_H

自然数全体Nから、 四元数全体Hができるまで。 ※高校生対象のセミナーの前準備なので、  若干内容に厳密さを欠いていたり、 続きを読む
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くっちんぱ @kuttinpa

いまからひとり数学TLやります。間違った瞬間に誰かが指摘を入れてくれると信じてる。 #n_to_h

2010-06-09 21:59:33
くっちんぱ @kuttinpa

自然数Nを定義して、N→Z→Q→R→C→Hと、最終的に四元数体を作ることを目指す。「自然数から四元数へ」#n_to_h

2010-06-09 22:00:50
DD++ @DDincrement

期待RT @kuttinpa: 自然数Nを定義して、N→Z→Q→R→C→Hと、最終的に四元数体を作ることを目指す。「自然数から四元数へ」#n_to_h

2010-06-09 22:01:53
くっちんぱ @kuttinpa

自然数(N)は、ペアノの公理によって作られる。1) aは自然数 2)xが自然数ならばxの「次」,suc(x)も自然数 3) suc(x)=suc(y)となるのはx=yの時に限る 4)どんな自然数xに対してもsuc(x)≠a 5)以上から作られるものだけが自然数 #N_to_H

2010-06-09 22:07:18
くっちんぱ @kuttinpa

ここで、公理1に出てくる「a」は、0とするのが都合がいいので、ここでは0とする。 #N_to_H

2010-06-09 22:08:41
くっちんぱ @kuttinpa

Nの間の加法を定義する。あるm∈Nについてあるfが存在し、以下を満たす。 P1:f(0)=m P2:f(suc(x))=suc(f(x)) #N_to_H

2010-06-09 22:11:37
Tomoki UDA @t_uda

@kuttinpa ペアノの公理によって作られる、ではなく公理を満たすものが自然数

2010-06-09 22:11:38
くっちんぱ @kuttinpa

ミス。サーセンっした #N_to_H RT @t_uda: @kuttinpa ペアノの公理によって作られる、ではなく公理を満たすものが自然数

2010-06-09 22:12:36
くっちんぱ @kuttinpa

このようなfが存在することは、漸化式の解の存在定理という定理から言える。また、このようなfは一つしか無い。f(n)のことをm+nと書く。 #N_to_H

2010-06-09 22:13:45
くっちんぱ @kuttinpa

このようにして定義された二項演算+は、「交換律(a+b=b+a)」「結合律((a+b)+c=a+(b+c)))」「簡約律(a+c=b+c⇒a=b)」を満たす。これを和法則という。 #N_to_H

2010-06-09 22:16:13
くっちんぱ @kuttinpa

最終目的は、とあるセミナーで高校生に「我々の使う数はこう定義されてる」と教える事。自分で再確認もしたいのでなるべく厳密にやります RT @DDincrement: これはつまり、普段使う意味での「自然数」をより一般化したような「自然数」の定義として採用して #N_to_H

2010-06-09 22:19:11
くっちんぱ @kuttinpa

和法則の証明は、長いので割愛する。協力してくれた鳴滝さんありがとうございます #N_to_H

2010-06-09 22:20:27
くっちんぱ @kuttinpa

大小関係・・・m,k∈Nに対して、m≦kとは、m+n=kとなる自然数kが存在することであると定義する。すると二項関係≦ha #N_to_H

2010-06-09 22:22:15
DD++ @DDincrement

@kuttinpa やはりsucの「意味」を定義する必要があると思う。つまり、自然数間の最小単位の定義。suc()を自由にとっていいなら、俗な意味で「2を足す」を意味すると、ここで言う「自然数」が通常の意味での「偶数」に相当してしまう。これは許容? #N_to_H

2010-06-09 22:24:38
くっちんぱ @kuttinpa

すると二項関係≦は「O1:m≦m」「O2:k≦mかつm≦nならk≦n」「O3:m≦nかつn≦mならm=n」「O4:任意のm,nに対してm≦nかn≦mのどちらか(または両方)」が成立する。証明は割愛。 #N_to_H

2010-06-09 22:24:42
くっちんぱ @kuttinpa

@DDincrement そのようにsucを定義したとしても、今後の進め方に問題はないはずです。仮にそうやって作った「自然数」があったとして、自分たちの世界と全く同じような計算規則が出来上がることを見せれば高校生もむしろ喜ぶとおもう。

2010-06-09 22:27:25
DD++ @DDincrement

@kuttinpa あと、高校生に対しての説明という前提だと、a=1 の方が普通なのではないかという質問がこの時点ででることが容易に予想されますが、それへの回答は? #N_to_H

2010-06-09 22:27:32
アルゴドゥー / alg-d @alg_d

適当な事言うけど、その場合「俗な意味での"2"」とやらが「自然数の"1"」になるんじゃないんですか? RT @DDincrement: @kuttinpa やはりsucの「意味」を定義する必要があると思う。つまり、自然数間の最小単位の定義。suc()を自由にとっていいなら、俗な

2010-06-09 22:29:10
くっちんぱ @kuttinpa

@DDincrement 「とりあえずa=0とする」で話を進めて、先程のO1やO4の部分で「ほら、0があったほうが好都合でしょう」」と納得させたい。「自然数を定義するときは、0を自然数に含めるのが自然」という論調

2010-06-09 22:29:56
くっちんぱ @kuttinpa

ちなみに自然数において0(P1におけるa)より小さい元は存在しない。 #N_to_H

2010-06-09 22:32:39
くっちんぱ @kuttinpa

積・・・自然数mについて、以下を満たす関数g:N→Nが一意に存在する(∵漸化式の解の存在定理)。M1: g(0)=0 M2:g(suc(x))=m+suc(x) これをm×nだとかmnと書く。 #N_to_H

2010-06-09 22:35:15
くっちんぱ @kuttinpa

これ嘘。P1じゃなくてペアノの公理の1)ね RT @kuttinpa: ちなみに自然数において0(P1におけるa)より小さい元は存在しない。 #N_to_H

2010-06-09 22:35:43
DD++ @DDincrement

簡約律って、この段階までで証明できるんだ。てっきり逆元定義した先かと思ってた。 #N_to_H QT @kuttinpa: このようにして定義された二項演算+は、「交換律(a+b=b+a)」「結合律((a+b)+c=a+(b+c)))」「簡約律(a+c=b+c⇒a=b)」を満たす

2010-06-09 22:37:08
くっちんぱ @kuttinpa

これでNについての話は終わりで、N→Zを考えます。自分で考えたことが多いので、ここからは間違い満載の予感。みんなツッコミよろしく! #N_to_H

2010-06-09 22:37:13
Tomoki UDA @t_uda

@kuttinpa 1 から始めた場合、順序の法則を上手く言えない、というのがこの場合最も説得力があるからそれでいいと思う。あと、Suc が 2 加算のような場合でも、半群として同型なのでどれを考えようが自然数として同型。普通この意味で、同型を除いて一意的に自然数を考えればいい。

2010-06-09 22:37:30
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コメント

Tomoki UDA @t_uda 2010年6月13日
R→C の分を追加しました。 (N_to_H)
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Tomoki UDA @t_uda 2010年6月14日
今日の #N_to_H 「Cが代数閉体であること」をとぅぎゃりました
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@h_kagami 2010年6月14日
修正分追加しました。
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@h_kagami 2010年6月22日
ハミルトンの四元数の部分を追加しました。
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もけもけ @kuttinpa 2010年8月5日
NtoHを更新しました。かつる!
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