直観主義論理と真でも偽でもない命題
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Zahlangabeheft
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トムクルーズ
@tomcru_
「直観主義論理は二値論理ではないが、三値論理ではない（真でも偽でもない言明の存在を認めない）」件の説明を求められる事がよくあるのだが、いまだ簡単かつクリアに説明できない。まだ自分でもよくわかっていないのだと思う。精進せねば
2012-05-02 14:48:57
トムクルーズ
@tomcru_
真偽じゃなくて証明の存在について語った方が解りやすいと思うんだよな。直観主義は真偽概念を捨て去った方がいいんじゃないのという気がしないでもない（別に俺が言い出した話ではないらしいが）
2012-05-02 14:53:41
yyyy/mm/dd
@Zahlangabeheft
@silver_pork ふふふ，それは苦労する点です．「真である＝原理的に証明可能である」という立場の下「証明可能か否かは客観的に決まっている」と考えると三値論理になりますが，証明は我々の構成物であって増えていくので，証明可能性の範囲も確定しない，と考えると三値にならない．
2012-05-02 15:05:30
大西琢朗
@takuro_onishi
真＝証明が存在．偽＝反証(証明不可能だという証明)が存在．真理値をもつことは何らかの証明の存在によって説明される．すると「真でも偽でもない」は「"証明も反証も不可能"という証明が存在」と説明されるべきだがそんな証明は存在しえない．こんなのはどうですか．@silver_pork
2012-05-02 22:19:13
トムクルーズ
@tomcru_
@takuro_onishi ありがとうございます。ええ、僕もそんな感じで考えていたのですが（先生や先輩に教えてもらったのですが）、なんかうまく説明できないしまだもやもやが残っているのでもう少し考えてみます。
2012-05-02 22:32:51
トムクルーズ
@tomcru_
二値原理（Aの証明があるか、A→⊥の証明がある）に対する直観主義の反例は、「Aの証明がなく、A→⊥の証明もない」Aであるが、これは、Aが真でも偽でもない＝Aの証明がある→⊥∧（（Aの証明がある→⊥）→⊥）ことを含意しない。
2012-05-02 22:37:29
ytb
@ytb_at_twt
直観主義論理を三値論理と見なすこと自体は何の問題もないんじゃないですか? (単に真理関数的にならないとかそういう問題があるだけで)
2012-05-02 22:47:32
yyyy/mm/dd
@Zahlangabeheft
@ytb_at_twt うーん，どういう意味でしょうか．直観主義命題論理には可算無限個の非同値な命題が存在する（cf. Elements of Intuitionism, 2nd. ed., sec. 1.4）ので，意味論値は三つでは足りませんよね…．
2012-05-02 23:02:29
トムクルーズ
@tomcru_
@ytb_at_twt 「三値論理でない」というより、正確には、「いかなる命題Ｐについても、Ｐが真でも偽でもないということはない」という感じです。
2012-05-02 23:04:21
トムクルーズ
@tomcru_
「いかなる命題Ｐについても、Ｐが真でも偽でもないということはない」が成り立ち「いかなる命題Pについても、Pは真か偽である」が成り立たないとか、一読して納得するのはどう考えても不可能だと思う
2012-05-02 23:08:53
トムクルーズ
@tomcru_
Natural Deduction http://t.co/UNCn38of 700円ちょいでこのタイトルなので簡単な入門書かと思ったら「Prawitz's theories form the basis of intuitionistic type theory…」とか。読むか
2012-05-02 23:23:44
yyyy/mm/dd
@Zahlangabeheft
@silver_pork 北欧から来た謎の仙人です．いや見た目が．直観主義タイプ理論の創始者として知られています．http://t.co/rWz6owsO （PDF注意）
2012-05-02 23:32:29
yyyy/mm/dd
@Zahlangabeheft
@silver_pork というかそれはとてもとても有名な本です．哲学的コメントも独特ですが面白いです．あとこの講演録も有名です：http://t.co/F8wHpvzh
2012-05-02 23:43:02
大西琢朗
@takuro_onishi
@silver_pork こちらこそいきなり口を出してしまいまして。どんどん掘り下げていって、直観主義論理を成り立たしめている前提みたいなところからしっかり理解できると嬉しいですよね。
2012-05-02 23:59:47
トムクルーズ
@tomcru_
@takuro_onishi そうですね。単なる形式体系として知っていたものについて、それをそうあらしめているような概念的前提や動機を知った時にはとても興奮します。 宜しければ今後もいろいろと教えて下さい。＞「いきなり～」
2012-05-03 00:06:09