積分の順序交換と連続体仮説

@tenapi

連続体仮説はかなり強力な仮説なので、それを否定しただけの仮説は公理としては弱すぎて面白くありません。ですからむしろ連続体仮説を導く強力で興味深い命題としてどんなのがあるか、ということが関心を集めるわけです。

@tenapi

ちゃう。「連続体仮説の否定を導く」のマチガイ。 RT @tenapi: 連続体仮説はかなり強力な仮説なので、それを否定しただけの仮説は公理としては弱すぎて面白くありません。ですからむしろ連続体仮説を導く強力で興味深い命題としてどんなのがあるか、ということが関心を集めるわけです。

@tenapi

もちろん連続体仮説を導くもっと強い公理にも研究する価値があります。ジェンセンの◇などがその代表でしょうか。

平泉 @hrizm_math

連続体仮説から出てくる命題ですごいと思ったのは、逐次積分で積分する変数の順番を変えると値が異なる関数fの存在が言えるやつ。

平泉 @hrizm_math

ゲーデルと20世紀の～～4巻96ページ定理2.49参照。

Tomoki UDA @t_uda

@hrizm_math え、でもそれって確か連続体仮説なくても構成的に存在示せますよね？連続体仮説から非構成的に存在を証明できるってことですか？？ [区間ぜろ]

平泉 @hrizm_math

え、そうなんですか^q^

平泉 @hrizm_math

詳細を調べているnow

@tenapi

@t_uda @hrizm_math 函数を有界なものに限ると、「どんな有界函数でも逐次積分が存在するときには順番に依存しない」という命題も集合論の普通の公理と両立しますよ。

ぴあのん @piano2683

「逐次積分が存在するときは必ず一致する」はZFCと矛盾しなくて，逐次積分が一致しない関数の構成にCHが必要な様子．

平泉 @hrizm_math

ぴあのくんが助言してくれた。

Tomoki UDA @t_uda

@piano2683 その「積分」と言っているのはどの空間でのどのような函数のどのような積分範囲でのどのような種類の積分ですか。 [マスハラじゃなくて教えろください] [区間ぜろ]

Tomoki UDA @t_uda

有界関数に限った場合に問題なさそうなのは把握した。有界じゃない関数適当にでっち上げりゃー積分順序交換して一致しない例っていくらでも作れたと思うんですが。 [区間ぜろ]

@tenapi

それはその通りだと思います。 RT @t_uda: 有界関数に限った場合に問題なさそうなのは把握した。有界じゃない関数適当にでっち上げりゃー積分順序交換して一致しない例っていくらでも作れたと思うんですが。 [区間ぜろ]

Tomoki UDA @t_uda

@tenapi @piano2683 分かりました。ありがとうございます。ペコリ [区間ぜろ]

平泉 @hrizm_math

@t_uda @tenapi @piano2683 言い出しっぺがあんまりお役に立てず申し訳ありません。

平泉 @hrizm_math

詳細を省いて言い過ぎたかな。

@tenapi

逐次積分の順序交換の問題に集合論的な観点からアプローチをした論文として、少々古いですが、Joseph Shipman の http://t.co/UZM2jj4R ってのがあります。

嘉田 勝 @kadamasaru

@tenapi @t_uda @hrizm_math ちなみに積分順序交換で値が変わる関数は連続体仮説よりだいぶ弱い non(N)=c という仮定から構成できます。tenapi さんご指摘のとおり ZFC だけでは無理。