某大学のロミオとジュリエット好きの教授が作った問題

sasamistreet @sasamistreet

あずにゃん好きの教授が作った問題見た。あーいうテストは好きだよ。

sasamistreet @sasamistreet

4年前にすごくおもしろいテストがあって、その時のテスト問題をまだ残しているので紹介したい。

sasamistreet @sasamistreet

あ、システム制御の問題です。

sasamistreet @sasamistreet

140字の都合上、問題の要素を損なわない程度で問題文を一部カットしてます。

sasamistreet @sasamistreet

[訂正] 問1：Rをロミオのジュリエットに対する気持ち、Jをジュリエットのロミオに対する気持ちの程度を表す変数とし、正の時は好意、負の時は嫌悪を表す。

sasamistreet @sasamistreet

問1-1)2人の心のダイナミクスを以下の式でモデル化した。 [dR/dt=aJ, dJ/dt=bR] 「Jが好意をもつほどRの好意は増えるが、Rがつれない素振りをするほどJの好意は増える」とする場合、係数a,bの符号はそれぞれ何が適切か。またRが心のないロボットの場合はどうか。

sasamistreet @sasamistreet

問1-2)恋に臆病な同じ性格の2人の場合のモデルとして、[dR/dt=-aR+bJ, dJ/dt=bR-aJ]とした。ただし、0<a<b, R(0)>0, J(0)=0。この式に基づいた2人の恋の行方を調べ、根拠も示せ。なお、L^(-1)[1/(s+c)]=e^(-ct)である。

sasamistreet @sasamistreet

問2： 問1と同様にロミオとジュリエットの気持ちをそれぞれRとJで表す。今回は2人の気持ちのダイナミクスを以下のようにモデル化した。 [ dR/dt = (-R-2J+3)R, dJ/dt = (-J-R+2)J ]

sasamistreet @sasamistreet

問2-1) このシステムが持つ [0 0]T 以外の平衡点を全て求めよ。ただし、添字のTは転置を表す。

sasamistreet @sasamistreet

問2-2) 平衡点[0 0]T の安定性を調べよ。また、この平衡状態から始まる2人の心はどうなるかをひとことで説明せよ（最初2人はお互いに全く無関心であり、かつ外乱なども全く無いとする）

sasamistreet @sasamistreet

問3：問1-2)の場合において、Rだけに入力uが加わった（恋のアドバイスを受けた）。

sasamistreet @sasamistreet

問3-1) 式2（問1-2のモデル式）に入力項 u を加えた状態方程式に基づいて、u により R と J をうまく操ることができるための条件を求めよ。また、それは具体的にどういうことか述べよ。

sasamistreet @sasamistreet

問3-2) アドバイス u としては、（過去や未来ではなく）その時の2人の気持ちを一定のバランスでフィードバックするように、u = -k_R*R-k_J*J とした。しかしあるバランスを選んだら極が s = ±j となってしまった。 （続きます）

sasamistreet @sasamistreet

問3-2) （続き） この場合、2人の気持ちはどうなるかについて一言述べ、これはどのようなバランス（k_R, k_J）のときに起こるか調べよ。

sasamistreet @sasamistreet

問4：アドバイザーとして R と J の気持ちを探りたいが、観察できるのは両者の気持ちの差 （R-J） のみであるとする。この場合、以下の問に答えよ。

sasamistreet @sasamistreet

問4-1) 2人のダイナミクスが問1-2)のモデル式である場合の可観測性を調べよ。またその結果は具体的にはどういう事かを説明せよ。

sasamistreet @sasamistreet

問4-2) 2人のダイナミクスが問1-1)のモデル式の時、 a≠b ならば可観測である。このとき、推定誤差システムの特性方程式が s^2+αs+β = 0 となるように状態オブザーバゲインを定めよ。

sasamistreet @sasamistreet

あ、問題はこれで終了です。

sasamistreet @sasamistreet

当時の感想として、ただ答えを求めるのではなく、その数値及び結果が具体的にどういう状態が述べさせる部分が非常におもしろかった。