「加法群・乗法群」って?

加法群・乗法群って言葉はどういう意味?という@y_bontenの素朴な疑問に先生方がご教授くださった記録です。
数学 群論
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ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten
すみません、いまだに「加法群」と「乗法群」って言葉の意味が分からないのですが・・・「+」って記号を使ったら「加法群」で、「・」とか「×」を使ったら「乗法群」?
嘉田 勝 @kadamasaru
@y_bonten すみません、学生時代に可換群とアーベル群と加法群と加群の違いがわかりませんでした(^^;;;;;)
MarriageTheorem @MarriageTheorem
@y_bonten 厳密な定義は多分ないんですけど、群構造の由来が足し算っぽいか掛け算っぽいかで使い分けている印象です。あと「加法群」と言ったら可換性を暗に期待することが多いので、非可換群を「加法群」とは呼ばない方がよいと思います。(続く
MarriageTheorem @MarriageTheorem
@y_bonten @MarriageTheorem (続き)ちなみに、代数的には互いに同型な群の演算を和で書こうが積で書こうが等価ですが、暗号分野では応用との関連で加法群と乗法群の区別がより気にされます。同型な群でもその同型写像を効率的に計算できると限らないのが理由の一つです。
ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten
@MarriageTheorem ありがとうございます。積年の謎が解けました。あちこち調べて、どうやら雰囲気で呼び分けているようだ、というところまでは推測できたのですが、なんのためにそんな言葉があるのか分かりませんでした。
ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten
ちなみに皆様が教科書を書くとして加法群と乗法群という語について説明するとしたらどう書きますか?
ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten
もうメダカレ的には「足し算っぽい演算が定義された群が加法群。あくまで『っぽい』だ!」と強調することが確定しそうな勢いw
MarriageTheorem @MarriageTheorem
まさかとは思うが、もしかしてひょっとすると圏論的な考察で「加法群」と「乗法群」の区別が実はついちゃったりするのかな~、なんて妄想的な心配をしている(圏論についてはからっきしなので、具体的な心当たりがあるわけではない)
たま@なら @tama_nara
可換であること。それにつきる。私はどうしても準同型写像を取り上げたくなるが。
鏡 弘道 @kagami_hr
@y_bonten A Shorter Model Theory, Wilfrid Hodges (著) によると言語での群演算記号が + か ・ かの違いのようです。例えば同じ群を加法的に記述したものと乗法的に記述したものはモデル理論的には絶対に同型にならないそうです。
ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten
高校でちょびっとだけ群論を習ったんだけど、そのとき先生は「交換法則が成り立つ群を可換群というが、アーベルの業績のあまりの素晴らしさに敬意を表して、アーベル群と呼ぶ人が多い」って言ってた。ほんまかいなと思うが、実際アーベル群って言う人のほうが多そうですね。
ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten
@kagami_hr ありがとうございます。純粋に記号の問題ということなのでしょうか。後半が理解できていませんので(汗)、ちょっと時間をかけて理解したいです。
鏡 弘道 @kagami_hr
@y_bonten 言語での記号に対する解釈を与えたものが構造なので、内容的に一見同じでも記号の違いは非常に重大で同型になりえないということらしいです。ついでにアーベル群の公理というのが余り使われないのは構造に対する準同型の概念に影響がないからだそうです。
ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten
@kagami_hr へぇ~、そういう世界なんですね。いまのご説明でずいぶん「とらえどころ」が判然としてきました。きちんと理解するまではかなり勉強が要りそうですが、忘れたころに蒸し返すかもしれません(笑)
鏡 弘道 @kagami_hr
といいつつ指数関数は加法群 R から乗法群 R_{+}^{*} への同型なんて平気で使っている。
ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten
ああ、いろんな世界があるのだなぁ。人生で学び尽くせそうにないってところがいいよなぁ。
ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten
例えばさっきまで「乗法群」と呼んでたものに、もうひとつ演算を加えて環やら体を作りたくなったとき、演算を呼び分けにくくて困ると思うのよね。あ、だから「加法群」のほうに可換的な含みがあるのかな?
MarriageTheorem @MarriageTheorem
@y_bonten 先日の「和が可換でない環が作れるか問題」のときにその点で苦戦しましたw
ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten
@MarriageTheorem a積(b和c)とか、エライことなってましたもんね(^^;)
鏡 弘道 @kagami_hr
てか加法と乗法でいやな体系は順序数 (こら
ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten
というわけで、一連の用語の定義でまともに苦労する価値があるのは「加群」だけという結論。
MarriageTheorem @MarriageTheorem
確かに(ぇ RT @kagami_hr: てか加法と乗法でいやな体系は順序数 (こら
MarriageTheorem @MarriageTheorem
@y_bonten 学生の頃の私は今より杓子定規だったので、ちゃんと「記号」で書こうとしただろうなと思うのですが、そこで躊躇なく漢字を導入できるようになった自分の変化を実感しましたw
ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten
@tama_nara よろしければご教授ください。「可換でなければ加法群と呼ぶことはない」という程度の意味でしょうか。あるいは「加法群」は「可換な群」と(ほぼ)同義に用いられるのでしょうか。
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