∀x￢(F(x)∈x) となるようなFを構成しなさい

スマートコン @mr_konn

うーん、¬(F(x) ∈ x) なる函数Fの構成がやはりまだわからん……さかいさんの例でうまく行くのかな……

黒ごまのかき氷 @hymathlogic

@mr_konn kwsk

スマートコン @mr_konn

@hymathlogic V上の集合値函数で、∀x ¬(F(x) ∈ x) となるようなFを構成しろ、ただし基礎の公理は使わずにRusselのパラドックスっぽい感じで、と云う問題なんですが……

スマートコン @mr_konn

清楚くせえ公理

黒ごまのかき氷 @hymathlogic

@mr_konn やっぱり基礎の公理は仮定しないんですね。考えてみます。

スマートコン @mr_konn

しかし、今導入されてる公理群、基礎の公理以外は全部存在公理で任意の集合の構造を制限してるのは基礎の公理ぐらいだから、それでも構成できるならそりゃラッセルみたいな論理的な矛盾に頼る他ないのだろうけど、うーむ……

スマートコン @mr_konn

f(x)が右側にきてるならバラしようがあってわかるのだけど、左側だとよくわからない

スマートコン @mr_konn

ちなみに選択公理はまだ導入されてないですにゃん

スマートコン @mr_konn

"Try not to use the axiom of foundation" だからひょっとして無理なのか……

鏡 弘道 @kagami_hr

@mr_konn 選択公理は使って良いのですか。

スマートコン @mr_konn

@kagami_hr 残念ながらまだ導入されてないですね……ZF-基礎の公理の範囲でやらないといけない感じです……

鏡 弘道 @kagami_hr

てかランクが使えないとすごく不便だ。

鏡 弘道 @kagami_hr

F(x) = 「x の要素とならない最小の順序数」

黒ごまのかき氷 @hymathlogic

@kagami_hr あっ、今思いついたのにー #悔しい #そういう話じゃない

鏡 弘道 @kagami_hr

やれやれ。

黒ごまのかき氷 @hymathlogic

鏡ん、脳が若い

@ta_shim_at_nhn

@hymathlogic @kagami_hr こちらも Hartogs number が使えそうと思っていたところ。

黒ごまのかき氷 @hymathlogic

ラッセルのパラドックス的手法でするところを機械的な方法にできる順序数凄い

@ta_shim_at_nhn

@kagami_hr ああそうか。a=x ∩ {z : ¬z∈z} とする。 a∈x とすると a∈a ⇔ a∈x∧¬(a∈a)⇔¬(a∈a) よって a∈x ではない。

鏡 弘道 @kagami_hr

あれ。うまくゆくの？

鏡 弘道 @kagami_hr

しまった。真面目に考えれば良かった ＃時すでに遅し

黒ごまのかき氷 @hymathlogic

順序数使う議論、置換公理使う可能性高いので、ラッセルのパラドックス的手法も大事かも

鏡 弘道 @kagami_hr

でも結果的に二通りの解答が得られたのは素晴らしい。

黒ごまのかき氷 @hymathlogic

別に置換公理は要らないか

@ta_shim_at_nhn

基礎の公理がないと変な集合がいくらでも作れるという先入観があるのと、 F(x)∈x を直接変形して矛盾を出そうと考えてしまうせいで、難しくなっているのかも。