7.29数学トーク @night_in_tunisi @noragrammer他

ナイト @night_in_tunisi

先日来、ちょいちょい「コンパクト集合上の連続関数は最大値・最小値を持つ」という定理について考えてるんだけど、どんな証明だったかまるで覚えてないの。コンパクト集合上の連続関数は一様連続、って使ったかな？ちょっとは自力で、と思ったけどどうやらムリポ。

ナイト @night_in_tunisi

そっか、コンパクト集合上の連続関数の像がコンパクトであることが分かれば簡単。この場合f:X→Rだから、Rがコンパクト=Rが有界閉集合なので、最大値・最小値を持つのはほぼ自明。

ナイト @night_in_tunisi

となると、コンパクト集合上の連続関数の像がコンパクトであることの証明が気になる。。。

Takashi Hayashi @tkshhysh

像内の任意の点列ynについて、f(xn)=ynたる点列xnを取り、それが領域のコンパクト性により収束部分列xkを持つので、連続性により対応する像内の部分列ykが収束部分列となる。RT @night_in_tunisi コンパクト集合上の連続関数の像がコンパクトであることの証明

Takashi Hayashi @tkshhysh

むしろ、Ｒの有界閉集合が最大値と最小値を持つ、というのの証明に半時間授業を使ってたりします。

ナイト @night_in_tunisi

@tksh_hysh フムフム、なるほど。ちょっと考えてみます。ありがとうございます。

ナイト @night_in_tunisi

フム〜。RT @tksh_hysh: むしろ、Ｒの有界閉集合が最大値と最小値を持つ、というのの証明に半時間授業を使ってたりします。

ナイト @night_in_tunisi

Rの部分集合が上限・下限を持つことは既知とすれば、Rの有界部分集合が有限な上限・下限を持ち、閉集合であることからそれらは最大・最小になる、っていう論理でオケ、だと思うのだけど。。。穴があるかな？

ナイト @night_in_tunisi

まず集合Aが「コンパクト」であることの定義から。「Aの任意の開被覆から有限の開被覆でAを覆うことが出来る」が定義。

ナイト @night_in_tunisi

連続写像f:X→Yの定義は「Yの開集合の逆像がXの開集合」。

ナイト @night_in_tunisi

さて、このとき、「コンパクト集合Aで定義された連続写像fの像f(A)もコンパクト」である。

ナイト @night_in_tunisi

何が言えればいいかというと、コンパクト性の定義からf(A)の任意の開被覆から有限個をとってきてf(A)を覆えることを言えればいい。

ナイト @night_in_tunisi

だから、まずf(A)の任意の開被覆をとる。これらを構成する開集合の逆像はどれも開集合（連続写像の定義より）。これらの開集合はAの開被覆である。Aのコンパクト性よりこれらより有限個を選んでAを覆うことが出来る。

ナイト @night_in_tunisi

写像の基本的な性質を使うとこれらの有限開被覆の像はf(A)を覆う。これはもちろん有限だし、元の開被覆の部分集合。よってf(A)のコンパクト性が言えたことになる。

ナイト @night_in_tunisi

もっともこれは一般の位相空間上での証明なので、もっと具体的な証明もあるだろう。しかし、抽象的なレベルで考えるとこれだけシンプルな証明になるところが「数学って素晴らしい」って思っちゃうところだ。

ナイト @night_in_tunisi

気になっているのは「コンパクト性」が実は単に「閉性」なのではという疑問です。RT @tksh_hysh: 像内の任意の点列ynについて、f(xn)=ynたる点列xnを取り、それが領域のコンパクト性により収束部分列xkを持つので、連続性により対応する像内の部分列ykが収束部分列とな

ナイト @night_in_tunisi

つまり、有界性は言えてないのではないか、と。

ナイト @night_in_tunisi

超久しぶりに数学ネタをツイートしてしまった。

ナイト @night_in_tunisi

先ほどの証明で、一瞬焦ったのは開集合の連続写像による像は必ずしも開集合ではない、という点。でも逆像の像、つまり恒等写像なので、問題なし。

Takashi Hayashi @tkshhysh

さきほどのは、「任意の点列がその集合内に収束する部分列を持つ」というコンパクト性の同値条件の証明です。@night_in_tunisi

Takashi Hayashi @tkshhysh

まあ、正確には点列コンパクト性のことだが、うちらにとってはそれで十分なので。

のらぐらま @noragrammer

今度は水龍がお怒りか。 こまったもんだなぁ。 左翼政権だとぶちぶちｗ、鎮魂が足りないだけじゃなくて、結界をぶちこわしまくってるからなぁ。

ナイト @night_in_tunisi

手持ちの教科書で点列コンパクトについて調べたら、思いっきり「ここまで試験範囲」って書いてあったw まるっきり覚えてないんだが。

ナイト @night_in_tunisi

距離空間では点列コンパクトとコンパクトは同じ。っていうか、位相空間一般で点列コンパクトは定義されるのか？ぱっと見では問題なく定義できそうだけど。

ナイト @night_in_tunisi

知識が断片化されていてもどかしい。