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ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
集合の定義が、「もしもこれが要素なら、あれも要素」という形で書かれていることがある。例えば集合Cが（～に関する）同値類であるための条件の一つが「(x∈Cかつx～y)ならばy∈C」だったり、デデキント切断で出てくる「(a∈Aかつx＜a)ならばx∈A」とか。線形部分空間もそうかな。
2012-10-22 18:13:26
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
こういう集合を理解するとき、すでに集合の要素として先客がいて、「じゃあお前も」って感じで、どんどん仲間を増やしていくイメージを持つのは悪いことではないと思うが、「再帰っぽく考えるしかないの？」とか、「『最初』はどうなってるの？」とか、微妙な疑問が湧いてくる。
2012-10-22 18:13:54
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
どのような形で書かれているにせよ、「そういう集合と呼ばれるための条件」つまり判定基準であることに変わりはないのだから、何かテキトーに集合をとってきたとき、それが同値類なり線形空間と呼ばれる資格があるか／ないか、という「静的」な見方も大事だと思う。
2012-10-22 18:15:56
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
「x∈かつx～yならばy∈C」で言えば、∀x,y[(x∈C∧x～y)⇒y∈C]であって、x∈C∧x～y∧￢y∈Cとなるようなx,yの組が、Cの中を探して1つでも見つかれば偽、全く無ければ真、ということでしかない。
2012-10-22 18:16:41
結城浩 / Hiroshi Yuki
@hyuki
@y_bonten 外しているかもしれませんが、「ならば」は論理的な関係であって時間的順序や時間的推移とは無関係だから、ということではないのかしら。
2012-10-22 18:18:15
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
@hyuki 仰るとおりだと思います。そのことを「ならば」を学んだときに聞いていたとしても、集合の定義がこういう形で書かれているときは、時間的・動的なイメージをするととても分かりやすくて魅力的なんですよね。「ならば」の理解を再確認するにもよい機会だと思います。
2012-10-22 18:22:41
shu
@LT_shu
@y_bonten 僕の個人的な感覚では，この種の定義は静的に捉えるのが普通で，「だんだん増えていく」イメージはありませんでした．もちろんどちらが優れているというものではないと思いますが，参考までに．
2012-10-22 21:35:37
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
@LT_shu ありがとうございます。捉え方の異なる人同士が、例えば「教える／教わる」の関係に立ったとき、なかなか原因の分からない齟齬が生じそうな気がしました。
2012-10-22 21:38:23
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【集合論】Henle本第5章、実数に入っている。デデキント風に切断（schnitt）を定義して、すべての切断の集まりRが集合をなすことをまず示す。
2012-10-23 04:30:30
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【集合論】まったくどうでもいい余談だが、schnittってドイツ語は医者には有名じゃないかな。メスで皮膚をチョコっとだけ切開することを「シュニットを入れる」なんて言うことがある。こんなところで再会することになるとは。（数学の）切断は英語だとcutだね。
2012-10-23 04:30:40
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
集合論の言葉でコーディングする、と言った表現はプログラミングを知ってる人が比喩表現として使っていると思っていた。一般的な表現なんですね。僕は勝手に「実装」とか言ってたけど、インプリメンテーションって言うとまた別の意味になったりするのかな。
2012-10-24 09:18:22
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【集合論】定理5.1、「Rが集合をなすことを示す」前に、今まで構築した数体系が集合をなすことの証明を復習しよう。
2012-10-24 10:59:14
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
まず無限公理によって存在が保証された集合が、定理2.1によって一意であることが証明され、それをNと名づけて、Nがペアノ公準を満たすことを示した。
2012-10-24 10:59:52
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【集合論】次に同値関係・同値類を定義した上で、集合の同値類の一つ一つは集合をなし（定理1.12）、ある集合の同値類全体の集まり（いわゆる商集合）も集合をなすことを示した（定理1.14）。
2012-10-24 11:00:09
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【集合論】ZはNの直積（これも集合をなす、定理1.8）の「～」に関する商集合として定義されるので、集合である（定理3.2）。Qも同様だが、全く同じことなので、定理として立てることすら省略されていた。
2012-10-24 11:00:24
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【集合論】で、今回はR。Qの部分集合で、これこれの条件をみたすもの（schnitt）全体の集まりは集合をなす、ということを示す。これを考えるときに、なんだか変なところでずいぶん足踏みしてしまった。
2012-10-24 11:00:51
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【集合論】R以前に、schnittが集合をなすことを示さなくて良いのか？集合の部分集合――と呼ぶのは問題があって、ある集合の要素を（全部じゃなくていいので）集めたもの――は集合をなすのか？集合の要素は必ず集合なのか？
2012-10-24 11:01:02
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
「ZFは『なんでも集合』なので、ZFの言葉で『～は集合をなす』という式を書くことはできない」という知識と、「～は集合をなす」という形で書かれている公理があることの折り合いが、僕の頭の中でついていないのだろう。
2012-10-24 11:05:53
Hiroyasu Kamo
@kamo_hiroyasu
@y_bonten ∃y(x∈y⇔φ(x)) を「{x:φ(x)}は集合をなす」と略記しているのです。
2012-10-24 11:20:46
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
@kamo_hiroyasu ありがとうございます。なるほど。すると、ZFの言葉で「集合をなす」を表現できない、という知識のほうが不正確、ということになりそうですね。
2012-10-24 11:28:51
Hiroyasu Kamo
@kamo_hiroyasu
@y_bonten ZFにおけるクラスのフォーマルな取り扱いが納得できれば、このあたりの事情がすんなりと理解できるとおもいます。クラス変数を含む式はある種のマクロです。
2012-10-24 11:46:33