2012年12月8日

素人の考察~放射性物質:崩壊確率と半減期の関係(近似式)

放射性物質の一定時間での崩壊確率と半減期の関係を、私に解るレベルの数式にしてみた。 ※注意※このまとめに書いた式は、間違ってはいない(・・・と思う)けど正確ではありません。正確な式は微分方程式を作って解いてね。
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まえがき

夢乃 @iamdreamers

放射性物質の崩壊確率と半減期の関係について、つらつらと考えてみる。

2012-12-08 09:10:23

放射性物質と半減期

夢乃 @iamdreamers

放射性物質は、決まった時間、決まった確率(放射性物質の種類により異なる)で、放射線を出して崩壊し別の物質になる。時間が長くなれば、崩壊する確率も高くなる。この確率が50%になる時間を半減期という。

2012-12-08 09:10:50
夢乃 @iamdreamers

原子一個に着目すると、「半減期の間に放射線を出して崩壊する確率が50%」ということであり、多数、例えば原子十億個に着目すると、「半減期の間に約半分の五億個の原子が放射線を出して崩壊する」ということになる。

2012-12-08 09:11:13
夢乃 @iamdreamers

前述の通り、原子によって一定時間の間に崩壊する確率は決まっているので、この確率がわかれば半減期も計算できる、はず。これを計算してみよう。

2012-12-08 09:11:51

崩壊確率の計算式を求める・その1

夢乃 @iamdreamers

ある放射性物質が一定時間、面倒なので1秒間として、1秒間に崩壊する確率をp(0<p<1)とする。この物質がn秒間に崩壊する確率をF(n)として、F(n)を表す式を考える。

2012-12-08 09:12:16
夢乃 @iamdreamers

0秒間に崩壊する確率F(0)=0。時間が経過しなければ崩壊しようがないので当たり前。 http://t.co/4lwtKRd6

2012-12-08 09:13:09
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夢乃 @iamdreamers

1秒間に崩壊する確率F(1)=p。1秒間に崩壊する確率がpの放射性物質を想定しているので、これも当たり前。 http://t.co/3vKzoWP3

2012-12-08 09:13:50
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夢乃 @iamdreamers

2秒間に崩壊する確率F(2)は、2pじゃない(ここから少し面倒臭い)。2秒間に崩壊する確率とは、「最初の1秒間で崩壊する確率」(=F(1))と、「最初の1秒間で崩壊せず、かつ、次の1秒間で崩壊する確率」の合計になる。

2012-12-08 09:14:25
夢乃 @iamdreamers

「最初の1秒間で崩壊しない確率」は1-p、「次の1秒間で崩壊する確率はp」なので、これらを纏めると、F(2)=F(1)+p(1-p) となる。 http://t.co/JgH1P2Tf

2012-12-08 09:14:56
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夢乃 @iamdreamers

3秒間に崩壊する確率F(3)も同じく、「最初の2秒間に崩壊する確率」と「最初の2秒間で崩壊せず、次の1秒間で崩壊する確率」の合計なので、F(3)=F(2)+p(1-p)^2 になる。 http://t.co/zRzliCbd

2012-12-08 09:15:49
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夢乃 @iamdreamers

ここまでくれば、n秒間に崩壊する確率F(n)もわかる。「最初の(n-1)秒間に崩壊する確率」と、「最初の(n-1)秒間に崩壊せず、次の1秒間で崩壊する確率」の合計なので、F(n)=F(n-1)+p(1-p)^(n-1) になる。 http://t.co/DiSrDskV

2012-12-08 09:16:44
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夢乃 @iamdreamers

ここで、f(n)=p(1-p)^(n-1) とすると、F(n)=Σf(i) (i=1~nの合計)と表せる(正しい表記は図を見てっ)。これを計算すると、F(n)=1-(1-p)^n と単純化できる。 http://t.co/ihhmVJA0

2012-12-08 09:17:30
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崩壊確率の計算式を求める・その2

夢乃 @iamdreamers

この式がわかればあとは簡単なんだけど、ちょっと脇にそれて、F(n)の式のもう一つの求め方。(こっちのほうが簡単)

2012-12-08 09:18:17
夢乃 @iamdreamers

1秒間に崩壊する確率F(1)は、「1」(100%)から「1秒間に崩壊しない確率」を引いた値とも表せる。ということは、F(1)=1-(1-p) になる。 http://t.co/OFVuqfIg

2012-12-08 09:18:50
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夢乃 @iamdreamers

2秒間に崩壊する確率F(2)は、「1」(100%)から「2秒間に崩壊しない確率」を引いた値なので、F(2)=1-(1-p)^2 になる。 http://t.co/lNzWgDXm

2012-12-08 09:19:33
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夢乃 @iamdreamers

3秒間に崩壊する確率F(3)は、「1」(100%)から「3秒間に崩壊しない確率」を引いた値なので、F(3)=1-(1-p)^3 になる。 http://t.co/8bO9KtNx

2012-12-08 09:20:17
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夢乃 @iamdreamers

同じように考えていくと、n秒間に崩壊する確率F(n)は、「1」(100%)から「n秒間に崩壊しない確率」を引いた値なので、F(n)=1-(1-p)^n になる。つまり、さっきの式と同じ。 http://t.co/cf1oCLxj

2012-12-08 09:21:00
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一定時間での崩壊確率と半減期の関係

夢乃 @iamdreamers

今度は、1秒間に崩壊する確率pと半減期の関係は、というと・・・半減期とは「放射性物質の崩壊する確率が50%になる時間」なので、さっき求めた式に当てはめて、0.5=1-(1-p)^n を満たすnが半減期、ということ。 http://t.co/2R4LDiTh

2012-12-08 09:21:54
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夢乃 @iamdreamers

これをnについて解くと、n=-1÷(log(1-p,2)) となり、これが一定時間に崩壊する確率pから半減期nを計算する式(正しい表記は図を見てっ)。 http://t.co/kZciHejf

2012-12-08 09:22:44
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夢乃 @iamdreamers

ついでに同じ式をpについて解くと、p=1-1÷n√2 となり、これが半減期nから一定時間に崩壊する確率pを計算する式(これも正しい表記は図を見てっ)。 http://t.co/YK5ek1qk

2012-12-08 09:23:27
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