機構学たんの機構学その7『対偶の自由度』

機構学たん（MT限定） @mechanism_tan

機械音痴な人にも分かって貰える様なお話をしたい．そんな理想を抱いた機構学たん，久々に授業開始です．

機構学たん（MT限定） @mechanism_tan

前回は自由度って何だーって事だったよね．今回はもう少し進んで、対偶の自由度について解説していくよ．

機構学たん（MT限定） @mechanism_tan

……と，その前に，少し復習プラスアルファを導入編としてやってみるね．

機構学たん（MT限定） @mechanism_tan

空間内を何の拘束も受けずに自由に運動する事の出来る剛体の位置は，剛体に固定され，かつ一直線上に無い3点P_1，P_2，P_3の座標によって定まる．これら3点の合計9個の変数によって，位置或いは運動が指定されるよ．

機構学たん（MT限定） @mechanism_tan

だけど，この3点は言った様に剛体に固定された点だから，これ等の相互間の距離は当然一定だよね．だから，この画像の式が成り立つんだ． http://t.co/qFTdD6Xq4E

拡大

機構学たん（MT限定） @mechanism_tan

この式は9個の変数の間の3つの関係式だから，剛体の位置を定める独立変数の数は6個だ．ここで，自由度ってどんな物だったか思い出してみて？

機構学たん（MT限定） @mechanism_tan

そう，物体の位置を指定するパラメータの数だ．パラメータって言うのはつまり独立変数の事でもあるから，つまりこの拘束されてない剛体の自由度は6であるって事．

機構学たん（MT限定） @mechanism_tan

3点の座標で定まるってどういうこっちゃーな人は，この画像を見ると分かる……かも？ http://t.co/WyviaCkRsQ

拡大

機構学たん（MT限定） @mechanism_tan

さてと，今度は対偶を見ていくよ．対偶を形成している2つの機素の片方を固定して，もう片方の機素を対偶の拘束条件に従って動かすよ．この時，機素を剛体と見なす事の出来る場合，対偶の拘束条件の数をcとすると対偶の自由度fは『f=6-c』と言う式で表されるんだ．

機構学たん（MT限定） @mechanism_tan

つまり対偶の自由度って言うのは1~5までのどれかになるって事が分かるね．次から，各種の対偶の自由度を具体的に見ていくよ．あんまり綺麗な図示じゃないけど……．

機構学たん（MT限定） @mechanism_tan

球Aと平面Bの接触した点対偶(球-平面対偶)で平面Bを固定すれば，球Aの運動は並進が2通りと回転が3通り可能になるよね．だから，この対偶の自由度は5になるんだ． http://t.co/DwopW7NhQd

拡大

機構学たん（MT限定） @mechanism_tan

一般に，2つの曲面がそれ等の任意の点でただ一箇所接触する様に拘束された対偶は，自由度5なんだ．……だけどまぁ，そんなボール2つくっつけた物なんてあんまり見ないよね．省略省略．

機構学たん（MT限定） @mechanism_tan

さっきの球Aを円柱に置き替えた線対偶(円柱-平面対偶)と，球Aを円筒Bの中にはめ込んだ球-円筒対偶の場合，それぞれ4つの自由度を持つよ．図示と内訳は以下の通り．

機構学たん（MT限定） @mechanism_tan

線対偶の時は並進2通りと回転2通り． http://t.co/ESFZuKtWtc

拡大

機構学たん（MT限定） @mechanism_tan

球-円筒対偶の時は並進1通りと回転3通りだね． http://t.co/n1wbi1OAZQ

拡大

機構学たん（MT限定） @mechanism_tan

球Aが機素Bの凹みにはめ込まれた様な球面対偶(回転3)や，平面同士の接触した平面対偶(並進2，回転1)は，どちらも自由度3の対偶だよ． http://t.co/myi2vZLZ4C

拡大

機構学たん（MT限定） @mechanism_tan

自由度2の対偶の例としては，円柱Aを機素Bに開けられた円形の穴に入れた円筒対偶があるよ．

機構学たん（MT限定） @mechanism_tan

ついでに，2つの柱面A，Bの母線を接触させた対偶では，Bを固定した時のAの運動はBとの間の完全なすべり接触による物と，完全なころがり接触によるものの2つの独立な成分の組合せによって表せるね．だから，この円柱対偶の自由度も2になるんだ．

機構学たん（MT限定） @mechanism_tan

この2つの図はこちら！ http://t.co/vrOfDZgwzV

拡大

機構学たん（MT限定） @mechanism_tan

円筒の場合は自由度2．じゃあ，角柱の場合は？　と言う訳でやって参りましたすべり対偶．並進しか出来ないから自由度は1だね． 円筒対偶の円柱に座金を付けて軸方向に動かなくすると，回り対偶．これも当然自由度は1． http://t.co/bpvw8NIImp

拡大

機構学たん（MT限定） @mechanism_tan

図示はしてないけど，自在継手は前にアップした写真を見てもらえば大体分かる通り，回転2通りの自由度2の対偶だ．ねじ対偶は自由度1って言う事になってるよ．

機構学たん（MT限定） @mechanism_tan

さてと，各種対偶の自由度の解説をしてきたけど，これをまとめてみるとこんな表になるよ．後々機構の自由度をやる時の為にも，覚えておくと便利！　かも？ http://t.co/2OfDJJBeAr

拡大