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開被覆を添え字付き集合族で定義するという話から、到達不可能基数の利用とか

主に自分用として。開被覆はトポロジー以外の分野だと添え字付き集合族で定義されているよなぁという @yamyam_topo さんのつぶやきから、@non_archimedean さんの到達不可能基数を使って記述するという話まで。
数学 トポロジー 圏論
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Atsushi Yamashita @yamyam_topo
空間 X の「開被覆」と言ったとき、位相空間論では P(P(X)) の元を、それ以外の分野では添え字つき集合族、つまりある集合 I から P(X) への写像を意味することが多い。後者の場合、(ある条件をみたす)開被覆の全体を考えるときに問題が生じると思うけど、些細なことかな。
くるる @kururu_goedel
@yamyam_topo 任意のC∈P(P(X))に対して、I=Cかつそれぞれのc∈C に対してU_c=Cとすれば、後者の意味での開被覆になるから問題ない、じゃだめなんでしょうか?
p進大好きbot @non_archimedean
@yamyam_topo 到達不能基数の存在を仮定して小さい議論にすれば問題はありませんね。
Atsushi Yamashita @yamyam_topo
@kururu_goedel 確かにその方法で、多くの場合は二つの意味の開被覆を混同して考えることができるのですが、そうするとうまく行くという根拠は私はよく分かっていない気がします。うまく言えないのですが。
Atsushi Yamashita @yamyam_topo
@non_archimedean 到達不能基数が存在するという仮定は最終的に消去できるんでしたっけ。
p進大好きbot @non_archimedean
@yamyam_topo できないのではないのでしょうか。
Atsushi Yamashita @yamyam_topo
@non_archimedean 到達不能基数を仮定した数学は、単なる ZFC よりも矛盾しやすいらしいし、嫌だなあ・・・
p進大好きbot @non_archimedean
@yamyam_topo 数論幾何の多くは到達不能基数を用いて宇宙の上で記述されていますし、矛盾はないものと信じられているのではないでしょうか。それを使わずに開被覆の全体を考える場合は集合論ではなくNBG公理系などのclass theoryをベースにするとよさそうですね。
くるる @kururu_goedel
@non_archimedean @yamyam_topo ちょっと正確な状況がわからないんですが、添字付集合族で表された場合でも、最終的にはそのrangeのみに依存しているという状況なら、やっぱりP(P(X))の元を使った形に書き直せるわけで、到達不可能基数は不要かと。
くるる @kururu_goedel
@kururu_goedel @non_archimedean @yamyam_topo そして、rangeのみに依存しているのでなければ、もうこれは開被覆の議論とは言い難いと思うのだけれども。
くるる @kururu_goedel
@non_archimedean @yamyam_topo すみません、その到達不可能基数を使った記述というのに興味があるんですが、何を見ればそういう記述が必要とされる理由を納得できますか?
p進大好きbot @non_archimedean
@kururu_goedel @yamyam_topo 開被覆の定義をP(P(X))の元ではなく添字付き集合族で定義しているので、例えば開被覆U=(U_λ)_{λ∈Λ}と点x∈Xに対して被覆の重複度を与える対応(U,x)→#{λ∈Λ|x∈U_λ}を考える場合rangeじゃだめです
p進大好きbot @non_archimedean
@kururu_goedel @yamyam_topo 宇宙Uを使い、集合のサイズに制限をつけることでU集合による添字付き開集合族全体を考えるようにすることで前述の問題を避けようという意図です。あくまでP(P(X))の元ではなく捉えようとするならばそういった必要があると思います。
p進大好きbot @non_archimedean
@kururu_goedel @yamyam_topo 何を見れば、ということの回答は思いつきませんが、siteの一般論を使う場合被覆にはcribleなどを用いるので、Topと別のsiteへの関手などを考えたい場合Topにもそういった添字構造付きの被覆を考えることになります。
p進大好きbot @non_archimedean
@kururu_goedel @yamyam_topo 被覆がrangeだけで記述したくない状況の典型例は数論幾何のetale、fppf、fpqc siteなどです。圏としてのimageがいい性質を持たないので、これらのsiteとTopの間で行ったり来たりすると必要になります。
p進大好きbot @non_archimedean
@kururu_goedel @yamyam_topo 添字集合のサイズを一様に1つの濃度で抑えられる、という状況がそもそも特殊で、色々な操作をする上でそういった濃度の上界の存在を仮定できるという点に到達不能基数を使うという意図でした。
符号 @Fine_sugar_hill
@non_archimedean @kururu_goedel @yamyam_topo 横リプになりますが、もし置換公理図式を本質的に使って議論しないのであれば、位相空間の濃度をκとして、添え字集合をV_{κ+ω×2}の元に限ってもよい気が。
Atsushi Yamashita @yamyam_topo
@Fine_sugar_hill @non_archimedean @kururu_goedel 問題となる位相空間に対して十分に大きく固定したランクから添え字集合を取るというアイディアなら、確かに到達不能基数なしで実現できますね。
p進大好きbot @non_archimedean
@Fine_sugar_hill @kururu_goedel @yamyam_topo 皆さんのおっしゃる「よい」の意味がよく分からなくなってしまっているのですが、例えば添字集合の大きさを上から抑えて構成されるTop上のsite Sと任意の濃度を許すsite S'は非同値では。
p進大好きbot @non_archimedean
@kururu_goedel @yamyam_topo 言葉足らずでした。宇宙を取って初めて「和や直積やべきなど色々な操作で閉じる十分大きな基数」の存在を仮定でき、それで抑えれば被覆族のよいモデルが1つを与えられる、という意図でした。付き合っていただきありがとうございました。
p進大好きbot @non_archimedean
@kururu_goedel 数論幾何限定でよろしいのでしたら圏論(特に被覆の理論)はSGA1とSGA4+1/2、宇宙論についてはEGRの序章で詳しく述べられています。SGA4+1/2と違ったアプローチではArtinのGrothendieck Topologyのノートなどです。
p進大好きbot @non_archimedean
@kururu_goedel SGA = Séminaire de Géométrie Algébrique EGR = Éléments de Géométrie Rigide です。
p進大好きbot @non_archimedean
@kururu_goedel 唐突に読むには厳しい書籍だと思いますが、イメージだけ書いておきますと圏の間の関手がfully faithful essentially surjectiveのとき「終域の圏が小ならば」圏同値であるという性質が数論でとても頻出であることが大きいです。
p進大好きbot @non_archimedean
@kururu_goedel 具体的な証明は圏に対し選択公理を使います。小であって初めて選択公理が成り立ち、また宇宙の中で考えて初めて小なモデルを取れます。例えば被覆の例だと濃度に制約のない被覆全体に対して選択公理を使いたい、というようなモチベーションがあるという感じです。
カオナシ(T.MATSUMOTO) @CharStream
@kururu_goedelそれは“Using an inaccessible to distinguish small sets from large ones”(http://t.co/nD1LrLk6R4の17. Conclusionの(3)にある)という理由じゃないですか

コメント

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