2013年9月24日

ふぃっしゅ数の計算

自分なりのF1の近似計算過程。
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Aeton @aetonal

ふぃっしゅ数ver1の計算に取り掛かってみる。

2013-09-21 15:08:43
Aeton @aetonal

一つの巨大数を定義するのに複雑な関数を3つとか4つとかくらい用意してるので計算者泣かせの数。しかも関数Aの中に関数Bが入れ子になってるとかある。

2013-09-21 15:11:06
Aeton @aetonal

ふぃっしゅ数におけるB(n,a)の実体はどうやらこうなるっぽい。B(3,a)になるとさらにこのfの積み重ねの数が爆発する。 http://t.co/0916j8LhMg

2013-09-21 16:24:33
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Aeton @aetonal

ここから先はfの積み重ね方がタワー表記を指数表記に書き下した時と同様になる。実際には存在しない数学記号だけど、いわゆるf↑・・・↑a(1)みたいな形に近似すると思って良いんじゃないでしょうか。

2013-09-21 16:30:15
Aeton @aetonal

ただこれは関数のS変換の、まだ一部しか解ったに過ぎない。たぶんふぃっしゅ数の理解度10%以上かも怪しいレベル。

2013-09-21 16:33:44
Aeton @aetonal

ふぃっしゅ数v1のS変換二回目の数、すなわちB(61,61)は10→10→62→62より大きく10→10→63→62より小さいと分かりました。これは10→10→を3→3→に変えても同じです。

2013-09-21 17:20:33
Aeton @aetonal

Array表記({a,b,c,・・・})だとどうなるのかはちょっと自分がArray表記の実態を掴んでいないため不明。

2013-09-21 17:23:07
Aeton @aetonal

10→10→10→10→(10→10→62→62) < S変換3回めの数 < 10→10→10→10→(10→10→63→62) とんでもないことになった

2013-09-21 18:46:19
Aeton @aetonal

やはりふぃっしゅ数計算レベルになってチェーン表記が実用性を帯びてくるなぁ

2013-09-21 18:48:25
Aeton @aetonal

チェーン表記解説の方も早く作らないとねorz

2013-09-21 18:49:34
Aeton @aetonal

一応 10→10→10→10→2→2 < さっきの数 < 10→10→10→10→3→2 ね S変換3回で6つ組チェーンまでいくとはね・・・

2013-09-21 18:52:33
Aeton @aetonal

一応チェーン表記のネタバレとして言っておくと、10→10→・・・→10→y→zの最後の2つの数字y,zは数の大きさを示す重要項目ですが、一方それまでの10→10→・・・はチェーンの長さを示すためのいわば飾り程度の存在に過ぎなくなってしまいます。

2013-09-21 19:09:33
Aeton @aetonal

→y→zのyが十分大きければ、10→10→・・・を3→3→にしても殆ど問題なくなります。また、zが巨大数レベルであれば、yも10や3に近似しても殆ど問題なくなります。

2013-09-21 19:13:01
Aeton @aetonal

10→10→・・・が飾り程度になってしまうということは、超巨大数に適したこのチェーン表記もまた、数を爆発させるにあたって、無駄のある表記ということになります。

2013-09-21 19:23:55
Aeton @aetonal

表記を構成する各数字が、数の大きさを爆発させる上でもっと有機的に働く表記があると便利ですよね。おそらくその一つが、先日紹介したArray表記じゃないかと思われます。googologyによると、Array表記の{a,b,c,d}のdの増加はチェーンの長さの増加に相当するらしいです。

2013-09-21 19:26:29
Aeton @aetonal

とはいえ幾ら効率よくした所で、それが『表記』というものである限り、いつかは限界が来てしまうもの。いつかは{3,3,3…(超巨大数回)…3,3,3}とかしなきゃいけないし、それを拡張表記してもいつかは・・・となる。

2013-09-21 19:31:17
Aeton @aetonal

いつかはそれを超えてしまうとされてるのが、ビジービーバーはじめとする一部の計算不可能関数なんでしょうねー

2013-09-21 19:32:01
Aeton @aetonal

ミスったので訂正。ふぃっしゅ数のS変換4回めの数および関数のペアは[10→10→10→10→10→2.→2,10→10→10→10→(x+1.)→(x+1)]となった。ここで2.やx+1.という風に「.」が付いているのは自分なりの独自表現です。

2013-09-24 01:52:44
Aeton @aetonal

SS変換の一回目達成。次のSS変換は、x=10→10→10→10→10→2.→2を関数10→10→10→10→(x+1.)→(x+1)に代入した数、だけS変換を繰り返す、となるようです。(Ver.1)

2013-09-24 01:57:52
Aeton @aetonal

計算してみてわかったのはやはりS変換一回がチェーンを一つ伸ばすということ。さらにこれまでの計算結果のパターンから、最終的に10→10→…(S変換の回数+1個の10)…→10→2.→2に近似すると見なして良さそうです。

2013-09-24 02:04:43
Aeton @aetonal

確かに次のSS変換の段階で、グラハム数より遥かに大きい巨大数だけS変換を繰り返す、となると、これは10→10→…(G回)…→10→10を遥かに超えますね。しかもSS変換2回めの段階で。

2013-09-24 02:11:50
Aeton @aetonal

あーやっとver.1のSS変換の定義わかったっぽい

2013-09-24 15:31:28
Aeton @aetonal

SS変換って、要するにS変換を○回繰り返した数だけS変換を繰り返した数だけS変換を繰り返した数だけ・・・という繰り返しかと思ってたけど、違うんだね。

2013-09-24 15:32:35
Aeton @aetonal

S変換を○回繰り返す事をS2変換として、S2変換を前段階の数だけ繰り返す事をS3変換として・・・という変換作業そのものも拡大してるって事か。

2013-09-24 15:34:32
Aeton @aetonal

ただこれはふぃっしゅ氏も巨大数論において語ってるように、確かにあまり意味の無い拡大かもしれない。例えばS変換を4回繰り返すのがS2変換とされてるけど、それを次段階の巨大数N回繰り返すとしたときに、4×N回のS変換となるわけだけど、

2013-09-24 15:40:42
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コメント

225765 @225765 2013年12月3日
巨大数資料室で「ふぃっしゅ数のバージョンが上がるとSSS変換やSSS…(Sの数を爆発的に増大させる…}SSS変換が登場する」とありましたが最終的にはふぃっしゅ数のバージョンそのものを爆発的に増大させるような操作が登場しそうです。 このレベルの計算になると現行のふぃっしゅ数より上位の関数(スーパーふぃっしゅ数(仮称)など)が必要になりそうです。
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