Q-theory と最近の自分の研究について

Takayuki Kihara @tri_iro

Q-理論の勉強はじめました： ケクリス-マーティン-ソロヴェイ「Q-理論入門」 http://t.co/ymTa54kyeT ネズミに関するABC http://t.co/TQ3CvUgQnX は難しくて挫折したけど、Q-理論なら辛うじて理解できそう……。

Takayuki Kihara @tri_iro

Q-理論入門 http://t.co/ymTa54kyeT ざっと目を通した。 α-再帰理論が与えられた宇宙を基に計算概念を構築するのと対比すると、Q-理論は、計算概念（Π^1_{2n+1}）から宇宙を逆算することから始める、というイメージだろうか。

Takayuki Kihara @tri_iro

イントロでは、n=1のときに逆算して得た宇宙 Q_3 は正確に、「究極のコア・モデル K^∞ 」の実数全体に一致して、これがネズミの和なのか云々という感じの文面があるが、本文中には究極のコア・モデルやネズミに関する記述が全く無いので、この辺よく分からなかった。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tri_iro そうですね。当時，いくつかの「状況証拠」の下で，AD や PD は超コンパクト基数よりも無矛盾性が強いと信じられており，そういう決定性の公理を仮定して超コンパクト基数のある内部モデルを構成するのが Cabal のプロパガンダになってました。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tri_iro 当時構成されていた内部モデルたちは全て Delta^1_3 の整列順序を持っており，real たちは V で Sigma^1_3 になってました。そういうモデルたちの中で最大のものを「究極のコアモデル」と呼んでいたんだと思います。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tri_iro Q3 に入る real たちが「究極のコアモデル」と同じかどうかは，当時のコアモデルの定義を知らないのでちょっとよくわかりませんが，現在では，ウディン基数を一つ持つ最小の内部モデル M1 の real たちと一致することがわかってます。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tri_iro ＰＤを仮定したとき，L に入る実数が C_2 (最大の Sigma^1_2 可算集合) のそれと一致し，同様に C_2n が定義できる一方で，奇数のレベルではどうなっているんだろう，という問題意識から Q-theory が考えられたようです。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tri_iro 当時，超コンパクト基数を持つ最小の内部モデルが存在し，その内部モデルは Delta^1_3 整列順序を持つと信じられていたようで，C_2n や Q_2n＋1 がどういう内部モデルに対応するのか，というのはその延長線上での興味になっていたようです。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tri_iro 現在の知識では，これらは M_n に入る real たちときれいに対応がつきます。M_n は，ウディン基数を n 個持つ最小のカノニカルな内部モデルです。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tri_iro 当時の「究極のコアモデル」と Q3 の対応についての belief については，現在の内部モデル理論でも同様の belief があって，それが Mouse Set Conjecture と呼ばれるものです。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tri_iro Statement は以下の通りです：超強基数を持つ内部モデルが存在しないとする。このとき，V = L(P(R))とAD^＋の仮定の下で以下が成り立つ：任意の実数x, yに対して，xがyと順序数を使って定義できることとxがあるy-mouseに属することは同値。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tri_iro 超強基数はウディン基数と超コンパクト基数の（無矛盾性の強さについて）間にある巨大基数です。現代の内部モデル理論では超フィルターの代わりに，超フィルターをうまく集めて作ったエクステンダーというものを使って内部モデルを構成するんですが，

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tri_iro （ウディンの最近の仕事を除いて）現在までに作られた内部モデル理論で使われているエクステンダーを short extender と言います。Short extender を使った内部モデル理論で capture できる巨大基数の限界がほぼ超強基数に対応します。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

AD^＋は，AD を強めたテクニカルな公理で，現在構成されているＡＤのモデルの全てがＡＤ^＋のモデルになってます。巨大基数のあるモデルからＡＤ^＋のモデルを作る一般的な手法があり，ＡＤ^＋のモデルは本質的にこの手法でしか構成できないことがわかってます。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

そういうこともあって，ＡＤ^＋は内部モデル理論や決定性の文脈で自然な公理になってます。そして，現在の内部モデル理論の大きなテーマの一つは，ＡＤ^＋のモデルで定義されたＨＯＤを精密に分析することです。これについては，http://t.co/yto3TD9SBf　でも触れました。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

Mouse Set Conjectureが言っていることの一つは，ＡＤ^＋のモデルで定義されたＨＯＤの実数たちは，そのモデルに存在する mouse たちが持つ実数たちと一致する，ということで，Q3 が「究極のコアモデル」の実数たちと一致する，という当時のbeliefと対応します。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

うわ，返信し忘れてた…orz

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tri_iro ３ツイートほど，返信し忘れて独白ツイートになってました…。ごめんなさい。それで，Mouse Set Conjectureは，ＡＤ^＋のモデルのＨＯＤを分析するうえで必須の予想で，ＡＤ^＋のモデルのTheta についての帰納法で部分的に頑張って解かれていってます。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tri_iro 現在も当時も，こういった指導原理の下，内部モデル理論，決定性の理論は発展していっています。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tri_iro で，ここからは完全にこっちの自己満足ですが，最近僕がやろうとしていること・やりたいこと（http://t.co/0iLuLeyKFu）は現代版の Q-theory です。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tri_iro 十分に大きな巨大基数のある文脈では，あるＡＤ^＋のモデルのＨＯＤに入る実数たちと，ある可算順序数をパラメータに使って Delta^2_1 (uB) で定義できる実数たちは完全に一致します。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tri_iro ここで，Delta^2_1 (uB) は３階のオブジェクトとして普遍ベール集合たち（uB）を考えた場合の Delta^2_1 です。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tri_iro こういった実数たちや Sigma^2_1 (uB) という pointclass を調べることで，今後の内部モデル理論がどうなっていくのか知りたいわけです。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tri_iro 僕が最近考えているモデルL^Ωでは，巨大基数とΩロジックについての仮定の下で，L^Ωの持つ実数たちが，ある可算順序数をパラメータに使ってDelta^2_1(uB) で定義できる実数たちと一致すること，

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tri_iro Sigma^2_1 (uB)についてほぼ全てのことを「知っている」ことがわかりましが。また， L^Ω が GCH のモデルになっていることもわかりました。詳しくはこれ（http://t.co/4j4uGDGh23）を参照してみてください。