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不完全性定理の"帰結"に関する話題

@ytb_at_twtさんのゲーデル検定に端を発する、不完全性定理の帰結ってなんなの?という話題。
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ytb @ytb_at_twt

ゲーデル検定(初級) 以下の命題がゲーデルの不完全性定理の帰結となるか述べよ:①ユークリッド幾何における平行線公理の証明不可能性②ZF集合論における連続体仮説の証明不可能性③合衆国憲法における独裁可能性④ウソつきパラドクスにおける真理の定義不可能性⑤ハイゼンベルグの不確定性原理

2013-10-04 23:13:54
ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

そもそも「不完全性定理の帰結」って、どういう意味なのか分からなくなってしまった。不完全性定理の決定不能文の実例Aがあったとして、Aは「帰結」なのだろうか。

2013-10-06 14:11:29
ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

つまり「どれも違う」というのが正解ってことなのだろうか?

2013-10-06 14:16:41
カオナシ(T. MATSUMOTO) @CharStream

@y_bonten 中間論理や多値論理では帰納的に公理化不可能であることが証明されているものが存在するので、そういうのはそもそも健全性がいえないかもしれませんね。

2013-10-06 14:25:41
ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

なんらかの体系に対する不健全性定理って無いのだろうか。

2013-10-06 13:30:34
ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

@CharStream ありがとうございます。「そもそも健全性が期待できなくて当たり前」な論理の世界というのは、ありそうですね。

2013-10-06 14:27:17
墓所の陰にて @kafukanoochan

@y_bonten 自信はありませんが、、、 1.整数論を含む論理体系には、それが無矛盾なら「決定不能文」が無数に存在する。 2.「この論理体系に矛盾は存在しない」も「この論理体系に矛盾が存在する」も、決定不能文である。 こんな、感じだったと思います。

2013-10-06 14:59:48
ytb @ytb_at_twt

ゲーデル検定(初級) https://t.co/rSm7R3eFU6 の解説。 QT @y_bonten: そもそも「不完全性定理の帰結」って、どういう意味なのか分からなくなってしまった。不完全性定理の決定不能文の実例Aがあったとして、Aは「帰結」なのだろうか。

2013-10-06 16:33:40
ytb @ytb_at_twt

もちろん、正解は「不完全性定理の帰結」という言葉の定義によります。言うまでもないことですが、どんな場合でも③と⑤は間違い。③は純粋にアメリカ憲法学における憲法修正条項の位置づけの問題だし、⑤は名前が似ているだけ。

2013-10-06 16:35:16
ytb @ytb_at_twt

「不完全性定理の帰結」という言葉を、単に「体系から独立した命題」という意味でとる場合、①②は体系からその命題もその否定も証明できないのでその例になります。ただし、特に①は19世紀には判っていたことで、それを1930年代に発見された定理の帰結と呼ぶのはちょっと定項があります。

2013-10-06 16:37:55
ytb @ytb_at_twt

「不完全性定理の帰結」と言う場合、「第二不完全性定理の帰結」、つまり体系の無矛盾性を証明できる命題のケースが多いような気がします。そうだとすると①②は違います。

2013-10-06 16:39:26
ytb @ytb_at_twt

④は初級レベルでは「関係無い」といえます。ただし「真理の定義不可能性」という言葉の問題で、これを「理論が自分自身のモデルを構成できること」(タルスキの真理定義は、モデルの中で自分自身の部分モデルを構成)と解釈すると、完全性定理とコンボで不完全性定理の帰結となってしまいます。

2013-10-06 16:42:40
ytb @ytb_at_twt

だから正解は「言葉の定義次第」で、「この言葉の意味を○○だと解釈すると△△となる」とちゃんと答えれば、どんな答えでもかまいません。

2013-10-06 16:44:58
ytb @ytb_at_twt

ゲーデル検定(中級) 以下の命題がゲーデルの不完全性定理とどういう意味で矛盾していないか述べよ:①ゲーデルの完全性定理②タルスキの真理定義③ゲンツェンによる自然数論の無矛盾性証明

2013-10-06 16:48:08
ytb @ytb_at_twt

訂正:「理論が自分自身のモデルを構成できること」→「理論が自分自身のモデルを構成できることが理論から証明できること」

2013-10-06 16:49:09
ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

Wikipediaの「これらの結果(連続体仮説のZFCからの独立性、選択公理のZFからの独立性)は不完全性定理を必要としない」という文言と、「これらが不完全性定理の決定不能命題の実例である」ということとが相反するように見えちゃったのよね。

2013-10-06 17:01:34
ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

でもなぁ、「『連続体仮説は不完全性定理の決定不能文の実例』というのは間違い」という主張も聞いたことがあるような気がするんだよなぁ。何か前提を聞き落としていたのかなぁ。

2013-10-06 17:05:03
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ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

@functional_yy いわゆるゲーデル文そのものではない、ということですか。それなら納得です。ありがとうございます。

2013-10-06 17:09:11
ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

@noukoknows ありゃ?言われてみれば。また分からなくなった(ので楽しい)

2013-10-06 17:11:46
ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

@noukoknows のうこさんは「ZFCは自然数論を含んでいるわけではないから不完全性定理の適用外」と考えていますか?いや、もしそうだとすると、私はそれに反論できない状態なのですが。

2013-10-06 17:34:55
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ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

@hymathlogic ありがとうございます。最後は「す」でしょうか?「せん」でしょうか?

2013-10-06 17:48:43
このツイートは権利者によって削除されています。
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コメント

Hiroyasu Kamo ((φ→ψ)→φ)→φ @kamo_hiroyasu 2013年10月8日
「Tの論理式からT'の式への写像」と短く書いてしまいましたが、誤解をまねくおそれがあります。写像ならなんでも良いのではないので「Tの論理式からT'の式へのかくかくしかじかな写像」(かくかくしかじかは長過ぎてここには書けない)と読んでください。
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