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トイレットペーパーの微分方程式

トイレットペーパーって、そろそろなくなってきたなー、交換しないとなー、と思っていると急に使いきってしまって慌てたりしませんか? あの減り方の関係式ってどんな感じなんだろう……とか言っていたら、解く人が現れました。
数学
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Fujii Ryoichi @ffi
昨日トイレットペーパ見ながら気付いたのだけど、あれ使うほど半径が短くなるから円周も短くなるんだよなー、と。このとき半径の長さの変化はどういう式で表されるか。

1日たってもまだ考えている。

Fujii Ryoichi @ffi
トイレットペーパを使用するたびにトイレットペーパの太さ(半径)は減るから、円周も当然減っていく。 円周の長さの減少と、円の半径の減少は、どのような式で表されるか。昨日から考えてるけど、一次か二次かもよくわからない。微分の問題になるのかな。。
Fujii Ryoichi @ffi
傾きが -2πの一次式かなと思うのだが、ぜんぜん違うような気もしている。
おとうふ @otoufu793
@ffi 一次とか二次にならないと思うので、微分方程式をたてるとよいのではないかと思います。
Fujii Ryoichi @ffi
@otoufu793 なんかそんな気がするなあと思っていたのですが、やはり微分方程式。そうすると私の知識レベルでは教材なしにはわからないです。。
おとうふ @otoufu793
微分方程式たててみましょうか。
おとうふ @otoufu793
本と紙とペン用意して計算しようとしたらネコ2が紙の上に寝そべってペンにじゃれてきたので一緒に遊んで今に至る…。
おとうふ @otoufu793
ネコと遊びながら、トイレットペーパーの半径の単位時間あたりの変化量と時間の式どうやってたてようかなーって悩んでて、けっきょく、一定速度でトイレットペーパーを巻き取っていくときの半径の減少量って感じの式をたてることに。
おとうふ @otoufu793
買ってきた状態で半径r_0(下付きのゼロ),n回巻きのトイレットペーパーをローラーにセットして、一定速度cで無心に巻き取っていく。時間が進んでどんどん巻き取っていくとトイレットペーパーの半径rは小さくなっていく。面倒なので公衆トイレとかによくある芯がないロールで計算した。
おとうふ @otoufu793
なお巻き取ったあとのペーパーはちゃんとスタッフが美味しくいただきます。
おとうふ @otoufu793
こんな感じで微分方程式をたてました。?マークがあるのは、単位時間あたりに何巻き分を巻き取ったかを求めるのに「これくらい近似してもいいんだっけ?」っていう気持ちを表しています。たぶんいい。はず。 http://t.co/dnr8XqSpiD
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おとうふ @otoufu793
続き。四角で囲ってある式が、トイレットペーパーの半径rと巻き取り時間tの式です。たぶんそんなに違わない…と思う…(さっきアップした写真の一番下の行が違ってたのでのぞいてもう一度)。 http://t.co/ZtBj0lLW8t
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おとうふ @otoufu793
なお、ctっていうのは時間tまでに巻き取った紙の総長さになるので、「それまでに使った紙全部の長さとトイレットペーパーの半径が無理関数の関係になる」ってことでいいような…。
おとうふ @otoufu793
ちょっと関係が美しすぎる気がするが…。
おとうふ @otoufu793
一枚アップしてなかった。トイレットペーパーの半径rと巻き取り時間tのグラフ及び総使用量と半径rのグラフ。 http://t.co/g8G3f78cDJ
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おとうふ @otoufu793
グラフを見ると、紙をどんどん巻き取っていくと最後半径の減りが急に激しくなっていってぱたっと紙がなくなる。体感と一致していますね。
Fujii Ryoichi @ffi
微分は覚えてるけど微分方程式はぜんぜん覚えてないのでダメだ。
Fujii Ryoichi @ffi
係数に r_0 が含まれるのちょっと不思議な感じもしたけど、それこそ終わりかけのロールにおける r_0 のことを思うと納得しやすい。 #トイレットペーパの微分方程式
おとうふ @otoufu793
@ffi あ、微分方程式やってましたか、なんとなくツイートで文系かも? って印象が前からあったこともあり最後の結論がわかれば程度の書き方しました。ちょっとだけ一応解説すると、一番最初の式は、半径rがΔrだけ変化するのにΔt秒かかったとしたときのΔrとΔtの関係を式にしたもので、
おとうふ @otoufu793
@ffi半径の減少量Δr)=ー(紙の厚さ)×{(Δt秒間で巻き取られて減った紙の長さ)/(半径がrの時の円周の長さ)}という式です。{ }内はつまりΔt秒の間にトイレットペーパーのロールが何巻き分巻き取られて減ったか(初期値n回巻であるロールです)という意味のつもりです。
おとうふ @otoufu793
@ffi 厳密には{ }内後半の(半径がrの時の円周の長さ)って部分はΔrを含む値にすべきなのですが、このあとΔtを無限小にして微分方程式を立てることから2πrと近似可能です。たぶん。きっと。わたしの印象っていうか手応え的に(説明になっていない)。以上気が向いたら読んで下さい。
市川絡繰 @awajiya
昔の人は,よくカセットに俺ベスト集を録音したものですが,「もう2曲ぐらい行けるかな」と思ってると最後が切れて間抜けなことになったりしたもので @otoufu793
おとうふ @otoufu793
@awajiya あ、ロールを一定速度で巻き取っていくっていう状況は確かにカセットテープそのものですね、気づかなかった。最後途切れるとがっくりきて上から消して短い曲入れ直したりして。
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コメント

orihime @star_orihime 2013年10月25日
興味深いw 中学生や高校生に「なんで数学なんてやらなければならないの?」とか「数学なんて将来役に立たない」と言われたら、「このクソガキ黙って勉強しやがれ!」と吊るし上げてリンチして殴りつけるのではなくて、こうやって身近な話題から数学や物理の面白さを伝えられる大人になりたいものですな。
だるま@2/10オーメモJ-28 @KurzweilMaster 2013年10月25日
これ学校の授業でやったなー。今思えばユニークな学校だったのかも。
{3,5/2} 大二十面体 @Polyhedrondiary 2013年10月25日
?重さが一定割合で減るんだから,微分方程式立てるまでもないんじゃ。
ふぃずばん @fizzbang_alvitr 2013年10月26日
なるほど、さっぱりわからん。けど面白い。(←黙ってろ)
Mitsu Itakura @itarex 2013年10月26日
時間を逆向きにすると雪だるまの成長の式になるかな
ええな@ニャンガブ @WATERMAN1996 2013年10月26日
グラフがエネルギー収支比と同じ。
Mitsu Itakura @itarex 2013年10月26日
半径R cmの雪だるまが深さ1cmの深雪にあると接地面の半径は√R。距離1動かすと体積が√R 増加。d(R^3)/dt~R^1/2。解くと半径は時間の2/5乗に比例。ななななんだこの非自明な指数は。
Mitsu Itakura @itarex 2013年10月26日
0.4乗と0.5乗なんでまあほぼ同じか。
くおんらいと @quonlight 2013年10月26日
蓮の池を思い出したよ(`・ω・´)こういうの面白いね
森 邦彦(MORI Kunihiko) @morikuni_net 2013年10月26日
極座標で考えるとラクです。半径r(θ)は回転角θの一次関数になるので、それをθで積分するとθの2次関数であるペーパー長Lが出てきます。Lから逆算されるθをr(θ)に代入すると、半径がペーパー長の無理関数となる同じ結論が導かれます
{3,5/2} 大二十面体 @Polyhedrondiary 2013年10月26日
トイペの幅wとして,厚みがr0/nなので,使った紙の体積がwctr0/n,それはwπ(r0^2-r^2)と一致します。微分方程式立てない別解。
語られざるもの、悉若無@神精宝具開発中(🌳)(💧)(💀) @L_O_Nihilum 2013年10月26日
『全然違う人が同じ事象について考えた時、導いた答えが一致するの、数学の底力感じる。』これは数学以外でも言えると思う。最近実感したけど、違うことでも真剣に何か考える人同士が一緒に同じこと考えると、不思議とお互いの概念で思考が似たとこにたどり着くダイナミズムは快感だと思うです。
語られざるもの、悉若無@神精宝具開発中(🌳)(💧)(💀) @L_O_Nihilum 2013年10月26日
先のコメントの、批判ではなく、共感として。一応。
所長おち @02320_ochi 2013年10月27日
トイレットペーパーはJISで水分散性が定義されてる( http://www.jisc.go.jp/app/pager?id=0&RKKNP_vJISJISNO=P4501&%23jps.JPSH0090D:JPSO0020:/JPS/JPSO0090.jsp )ので意外と厚があります。みなさん仰るように重さか体積によるアプローチが素直かも。
Yuichiro Fukubayashi @fukubaya 2013年10月27日
急になくなる(気がする)という最初の問題を解決したくなる工学系.使いきるまでの時間はT=r_0(πn)/cなので,使用開始からkT(k<1)後は半径がsqrt(1-k)r_0になる.k=0.5で0.7r_0.半径が3割しか減ってなくても寿命はあと半分.
きゃっつ(Kats)⊿2/23乃木坂7BDL京セラドーム @grayengineer 2013年10月27日
「なんで数学なんてやらなければならないの?」と問う子供には微分方程式はわからないと思うなぁ
ざの人 @zairo21 2013年10月29日
一件 数式への感心より 実際わからないので、それより 猫ちゃんの愛くるしさが ほとんど感心を持ってってしまう!に4000ペリカ
Fujii Ryoichi @ffi 2013年10月30日
微分方程式じゃない解法を追記しました。
しめすへん@ネ人造人間 @shimesuhen 2013年11月3日
関係ないけど、トイレットペーパーのフィードと切断、ロール交換を自動で行う装置作れば結構受け入れられそうな気がする
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