シュミットの直交化と内積と作用素のはなし

あしたテストらしいですよ。
1
尿路結石おじさん @average33

3本の1次独立なベクトルa,b,cがあって、これをふつーの基底(長さ1、互いに直交)にしたい。これをするのがシュミットの直交化である。

2013-12-03 11:08:39
尿路結石おじさん @average33

次のように置き換える: a'↑=a↑/|a| b'↑=b↑/|b| - 〈b,a〉/〈a,a〉 ×a↑/|a| c'↑=c↑/|c| -〈c,b〉/〈b,b〉 ×b↑/|b| - 〈c,a〉/〈a,a〉 ×a↑/|a|

2013-12-03 11:16:53
尿路結石おじさん @average33

次のようにしてもよい。: a'↑=a↑ b'↑=b↑ - 〈b,a〉/〈a,a〉 ×a↑ c'↑=c↑ -〈c,b〉/〈b,b〉 ×b↑ - 〈c,a〉/〈a,a〉 ×a↑ と計算し、 e₁↑=a'↑/|a'| e₂↑=b'↑/|b'| e₃↑=c'↑/|c'| としてもよい。

2013-12-03 11:17:08
尿路結石おじさん @average33

この直交化法は、直交した基底を作るだけでなく、新たな直交したベクトルを考えることができる。3次元だけではa,b,cのベクトルで線形空間をなしてしまうのだが、 4次元以上を考えれば、a',b',c'とも直交したベクトルを考えることができる。いくらでも線形空間は広がる。

2013-12-03 11:20:56
尿路結石おじさん @average33

a,b,cとは1次独立であるベクトルdを考える。で、 d'= d-〈d,a〉/〈a,a〉 ×a↑/|a|-〈d,b〉/〈b,b〉×b↑/|b|-〈d,c〉/〈c,c〉×c↑/|c| とおけば、d'はa',b',c'に垂直だし、あとはe₄↑=d'↑/|d'|で正規直交基底ができる。

2013-12-03 11:26:07
尿路結石おじさん @average33

で、やばいことに、シュミットの直交化は内積空間(内積の定義できる集合)ならなんでも適用できる。ただの数字の羅列ではない、例えば関数どうしの定積分 〈f,g〉=∫[0,1] f(x)g(x)^* dx (^* は複素共役) なんかにも適用できてしまう。

2013-12-03 11:29:30
尿路結石おじさん @average33

定積分の区間はなんでもいいです 広義積分でもいいです

2013-12-03 11:29:58
尿路結石おじさん @average33

メモ:計量ベクトル空間(内積空間) http://t.co/eX9dPiRsMK

2013-12-03 11:35:23
尿路結石おじさん @average33

内積は、以下の条件を満たす: 〈a+b,x〉=〈a,x〉+〈b,x〉 〈cx,y〉=c〈x,y〉 〈a,b〉=〈b,a〉^* 〈x,y〉≧0 〈a,a〉=0⇒a=0

2013-12-03 11:37:46
尿路結石おじさん @average33

通常の内積で注意しなければならないのは、「後ろ側のベクトルは複素共役をとる」ということだ。 a=(a₁,a₂), b=(b₁,b₂)のとき、 通常の内積は、 〈a,b〉=a₁(b₁^*)+a₂(b₂^*) である。実数のベクトルならこれは考えなくてもよい。

2013-12-03 11:40:12
尿路結石おじさん @average33

この話を行列にもっていく。線形写像F,Gとする。 エルミート作用素とは、内積について次のような性質をもつ作用素(写像の一種)である: 〈Fa,b〉=〈a,Fb〉 これは、行列の場合、次に同じである。 F† = F (ただし、随伴行列F† = tF^*)

2013-12-03 11:47:51
尿路結石おじさん @average33

ユニタリ作用素とは、内積について次のような性質をもつ作用素(である: 〈Ga,Gb〉=〈a,b〉 これは、行列の場合、次に同じである。 GG† = G†G = I (Iは単位行列、G†=tG^*) ユニタリ作用素は、ベクトル空間を写像G:V→Wで変化させても、内積の大きさを保つ。

2013-12-03 11:51:59
尿路結石おじさん @average33

わかりやすくいえば、ユニタリ行列とは、ベクトルの方向を変えるだけなのだ。例えば、回転行列はユニタリ行列である。2次元の回転行列の逆行列を思い浮かべればわかるであろう。 ユニタリ行列の性質として、逆行列が随伴行列である: G^-1=G† ともいえる。

2013-12-03 11:54:58
尿路結石おじさん @average33

一般の随伴作用素の定義は、 全ての写像fについて 〈fa,b〉=〈a,f†b〉 を満たすような†である。 (作用素とは、関数の関数、すなわち関数自体を変えてしまうものである)

2013-12-03 11:59:21
尿路結石おじさん @average33

まあそろそろ音ゲークラスタの人はp†pに見えてきたと思う。p†p=pp†=Id(Idは恒等写像)を満たしたらpはユニタリ作用素である。

2013-12-03 12:02:12