あらゆる系が無矛盾である？

こざわ/とひ @t_aldehyde

寝込みながら背理法について考えていたら、「あらゆる系が無矛盾である」ことを証明できることに気がつきました。「その系に矛盾がある」ことを仮定したら、矛盾するため、それは仮定が間違っていたためであり、無矛盾となるからです。

シナノクラフト @ShinanoCraft

@t_aldehyde んで帰納法ができたのでしょうかねｗ（ベース無し感覚で）どっちが先というのでなく個人の思考の揺れに近似するように思います

こざわ/とひ @t_aldehyde

何かがおかしい気がしますが、背理法が有効なのはそもそも無矛盾な系だけなのでしょうか。

ヤマギシルイ／小説を愛するマジシャン® @rouis_ymgs

ここがよくわかりません。自己言及のパラドックスみたいな？RT @t_aldehyde: 「その系に矛盾がある」ことを仮定したら、矛盾する

こざわ/とひ @t_aldehyde

@rouis_ymgs 「系が矛盾しない」が「同位角は等しい」みたいに有効な命題なら、背理法で「同位角が等しくない」みたいに「系が矛盾する」ことを仮定できますよね。そしてそう仮定するなら当然矛盾が導き出されますよね。

ヤマギシルイ／小説を愛するマジシャン® @rouis_ymgs

@t_aldehyde 系は無矛盾であるか、無矛盾でないか、どちらかである。 系は無矛盾でないと仮定する。 しかし、系は矛盾する。 矛盾するのは仮定が誤っているからである。 よって、系は無矛盾である。 ↑ これ、2行目と3行目同じこと言ってません？

こざわ/とひ @t_aldehyde

@rouis_ymgs 同じことを言ってます。でも、背理法に、トートロジーを使ってはいけないと言うこともないよね、と。

ヤマギシルイ／小説を愛するマジシャン® @rouis_ymgs

@t_aldehyde では『自己言及のパラドックスが生じるので「系が矛盾しない」は有効な命題ではない』ということなのでは？　数学に明るくないので段々本気で混乱してきましたよ……。

ヤマギシルイ／小説を愛するマジシャン® @rouis_ymgs

@t_aldehyde 「系は無矛盾でないと仮定する。しかし、系は矛盾する。矛盾するのは仮定そのものだからである」ということでは？

こざわ/とひ @t_aldehyde

@rouis_ymgs でもまあ無矛盾性の証明とか、結構目にするのですよね。何か多分根本的に間違いというか無効なことをやってるのだと思います。

ヤマギシルイ／小説を愛するマジシャン® @rouis_ymgs

@t_aldehyde なるほど、「背理法を使うことのできる（無矛盾な？）系」というメタな系の存在が肝ですね。

こざわ/とひ @t_aldehyde

教えて @bampaku 先生みたいな気分です。

万博@盲学校マジック @bampaku

@t_aldehyde どこで引っかかってるのか一生懸命考えてます！

こざわ/とひ @t_aldehyde

@bampaku あざす。

万博@盲学校マジック @bampaku

@t_aldehyde @rouis_ymgs あ、たぶん分かりました。

ヤマギシルイ／小説を愛するマジシャン® @rouis_ymgs

期待age！RT @bampaku: @t_aldehyde @rouis_ymgs あ、たぶん分かりました。

万博@盲学校マジック @bampaku

@t_aldehyde @rouis_ymgs 「ある命題（p）が無矛盾である」ことを示します。 記号は￢（でない）⊥（矛盾）です。　 「pから矛盾が導かれるということは無い」を示します。 記号で書くと ￢（p⇒⊥）　を示す。 背理法を用いるので ￢￢（p⇒⊥）　を仮定する。

万博@盲学校マジック @bampaku

@t_aldehyde @rouis_ymgs ￢￢（p⇒⊥）≡ p⇒⊥ なので p⇒⊥　を仮定する。 よって矛盾、と言いたい所ですが、ここで矛盾というためには、pが正しいことが前提に必要です。 ここでpを「1は正の数である（正しい）」とすると p　p⇒⊥　より、⊥（矛盾）

万博@盲学校マジック @bampaku

@t_aldehyde @rouis_ymgs よって、仮定　￢￢（p⇒⊥）　がおかしい。 したがって ￢（p⇒⊥）「ある命題（p）が無矛盾である」が言えた。となります。 ここで、pを「0は正の数である（間違い）」とすると、 p⇒⊥　から　⊥（矛盾）は言えません。

万博@盲学校マジック @bampaku

@t_aldehyde @rouis_ymgs よってこの論法で証明できるのは、 「無矛盾な系は無矛盾であるが、無矛盾でない系は無矛盾とは言えない」ということになります。

ヤマギシルイ／小説を愛するマジシャン® @rouis_ymgs

なるほど！RT @bampaku: @t_aldehyde この論法で証明できるのは「無矛盾な系は無矛盾であるが、無矛盾でない系は無矛盾とは言えない」ということになります。

万博@盲学校マジック @bampaku

@t_aldehyde @rouis_ymgs たぶんこういうことだと思いました！ 途中でツイ消ししたのでややこしくなりましたすみません！

こざわ/とひ @t_aldehyde

@bampaku @rouis_ymgs おー ﾊﾟﾁﾊﾟﾁﾊﾟﾁ。pに「対象の系の公理」が来ると考えたら良いですか？

万博@盲学校マジック @bampaku

@t_aldehyde @rouis_ymgs そうです！pは何でもOKです！ 確かに背理法って、公理が正しい前提でしか使えない論法ではあります。この辺は、中学生に教えるときにも注意して教えてます。

万博@盲学校マジック @bampaku

@t_aldehyde @rouis_ymgs 単純な例だと、√2が無理数である証明の中で、「有理数とは互いに素な2つの整数で分数として表せるものである」って定義を使うんですが、この定義が無矛盾（well-defined）であるかは議論せずに、正しいという前提で使うんですよね。