早朝四時の0次元類体論講義

@alg_d氏による朝の講義。有限体上の代数拡大はアーベル拡大、という話からこういうことになりました。
数学 数学講義
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プログラミング破門 @515hikaru
これで有限体上の有限次代数拡大は巡回拡大が示せた
プログラミング破門 @515hikaru
すっげー何気なく書いたけど大定理じゃないですか(こなみ
alg_d @alg_d
515氏が0次元局所類体論をマスターする?
プログラミング破門 @515hikaru
類体論が何かもまだよくわかってません
alg_d @alg_d
ウルトラハイパー大雑把に言うと、体Kに対して最大アーベル拡大K^abがありますが、このGalois群 Gal(K^ab/K) が分かるということです。
alg_d @alg_d
0次元局所体Kとは有限体のことで、今 K^ab = K^alg (Kの代数閉包) ということが分かりましたね。
alg_d @alg_d
そこでGalois群を考えてみると、Gal(K^alg/K) = lim Gal(L/K) = lim Z/nZ となります(L/Kは有限次拡大を動く)。なんじゃこれよく分からんぞo(`ω´*)oプンスカプンスカ!!
alg_d @alg_d
そこでGalois群の代わりとなるような群を探しましょう。Galois群は中間体と部分群が対応するような群です。そこでここでは有理整数環Zを取ります。 部分群 0 ⊂ nZ ⊂ Z と有限次拡大 L ⊃ K が対応します。
alg_d @alg_d
こうして Z で Gal(K^alg/K)が《近似》できたことになります。ヤッター\(^o^)/
alg_d @alg_d
あ、ちなみに部分群 nZ ⊂ Z と有限次拡大 L ⊃ K が対応するとき、 Gal(L/K) = Z/nZ となっていて確かにGalois群っぽくなってますね????
alg_d @alg_d
こういうのがQとかでも成り立つってのが(1次元)類体論です。
alg_d @alg_d
質問は随時受け付けます。
alg_d @alg_d
ちゃんと書くと、F = F_q を有限体として、まず A := { H⊂Z | Hは指数有限部分群 } と B := { k/F | k/Fは有限次(アーベル)拡大 } という集合を考えます。
alg_d @alg_d
Kは気持ち悪いので記号を変えた
alg_d @alg_d
勿論 A = { nZ | n>0 } B = { F_{q^n} | n>0 } です。そこで AとB の間に nZ ←→ F_{q^n} という一対一対応が付きます。
alg_d @alg_d
この対応 A←→B は通常のGalois理論での対応と同じようになってるわけです。 (nZとkが対応するとき、Gal(k/F) = Z/nZ ) なのでZをGalois群の《近似》だと思えるわけです。
alg_d @alg_d
近似というのはどういう意味で言っているかというと、写像 ρ: Z→Gal(F^alg/F) で、以下を満たすようなものが存在します。
alg_d @alg_d
k/Fを有限次(アーベル)拡大とすれば、制限写像 Gal(F^alg/F)→Gal(k/F)があります。これとρを合成して Z→Gal(F^alg/F)→Gal(k/F) が得られますが、ここから準同型定理により、あるnに対して同型 Z/nZ = Gal(k/F) が成り立ちます
alg_d @alg_d
この同型 Z/nZ = Gal(k/F) が、先に出てきていた同型と一致します。
alg_d @alg_d
要するに、《近似写像》 Z→Gal があって、Galの情報がZへ行くわけですな。
alg_d @alg_d
Z→Gal は、多分 nに対して q^n乗写像を対応させるんじゃね??
alg_d @alg_d
これが一般に代数体K/Q や 一変数代数関数体 K/F(x) でも成り立つというのが(1次元)大域類体論。QやF(x)でなく Q_pやF((x)) (あとRとC)でも成り立つというのが(1次元)局所類体論。
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