早朝四時の0次元類体論講義

515hikaru @515hikaru

これで有限体上の有限次代数拡大は巡回拡大が示せた

515hikaru @515hikaru

すっげー何気なく書いたけど大定理じゃないですか(こなみ

V-alg-d（ZZ） @alg_d

515氏が0次元局所類体論をマスターする?

515hikaru @515hikaru

類体論が何かもまだよくわかってません

V-alg-d（ZZ） @alg_d

ウルトラハイパー大雑把に言うと、体Kに対して最大アーベル拡大K^abがありますが、このGalois群 Gal(K^ab/K) が分かるということです。

V-alg-d（ZZ） @alg_d

0次元局所体Kとは有限体のことで、今 K^ab = K^alg (Kの代数閉包) ということが分かりましたね。

V-alg-d（ZZ） @alg_d

そこでGalois群を考えてみると、Gal(K^alg/K) = lim Gal(L/K) = lim Z/nZ となります(L/Kは有限次拡大を動く)。なんじゃこれよく分からんぞo(｀ω´*)oﾌﾟﾝｽｶﾌﾟﾝｽｶ!!

V-alg-d（ZZ） @alg_d

そこでGalois群の代わりとなるような群を探しましょう。Galois群は中間体と部分群が対応するような群です。そこでここでは有理整数環Zを取ります。 部分群 0 ⊂ nZ ⊂ Z と有限次拡大 L ⊃ K が対応します。

V-alg-d（ZZ） @alg_d

こうして Z で Gal(K^alg/K)が《近似》できたことになります。ヤッター＼(^o^)／

V-alg-d（ZZ） @alg_d

あ、ちなみに部分群 nZ ⊂ Z と有限次拡大 L ⊃ K が対応するとき、 Gal(L/K) = Z/nZ となっていて確かにGalois群っぽくなってますね????

V-alg-d（ZZ） @alg_d

こういうのがQとかでも成り立つってのが(1次元)類体論です。

V-alg-d（ZZ） @alg_d

質問は随時受け付けます。

515hikaru @515hikaru

nは標数ですか?

V-alg-d（ZZ） @alg_d

@515hikaru nは拡大次数です

V-alg-d（ZZ） @alg_d

ちゃんと書くと、F = F_q を有限体として、まず A := { H⊂Z | Hは指数有限部分群 } と B := { k/F | k/Fは有限次(アーベル)拡大 } という集合を考えます。

V-alg-d（ZZ） @alg_d

Kは気持ち悪いので記号を変えた

V-alg-d（ZZ） @alg_d

目的を見失った

V-alg-d（ZZ） @alg_d

勿論 A = { nZ | n>0 } B = { F_{q^n} | n>0 } です。そこで AとB の間に nZ ←→ F_{q^n} という一対一対応が付きます。

V-alg-d（ZZ） @alg_d

この対応 A←→B は通常のGalois理論での対応と同じようになってるわけです。 (nZとkが対応するとき、Gal(k/F) = Z/nZ ) なのでZをGalois群の《近似》だと思えるわけです。

V-alg-d（ZZ） @alg_d

近似というのはどういう意味で言っているかというと、写像 ρ: Z→Gal(F^alg/F) で、以下を満たすようなものが存在します。

V-alg-d（ZZ） @alg_d

k/Fを有限次(アーベル)拡大とすれば、制限写像 Gal(F^alg/F)→Gal(k/F)があります。これとρを合成して Z→Gal(F^alg/F)→Gal(k/F) が得られますが、ここから準同型定理により、あるnに対して同型 Z/nZ = Gal(k/F) が成り立ちます

V-alg-d（ZZ） @alg_d

この同型 Z/nZ = Gal(k/F) が、先に出てきていた同型と一致します。

V-alg-d（ZZ） @alg_d

要するに、《近似写像》 Z→Gal があって、Galの情報がZへ行くわけですな。

V-alg-d（ZZ） @alg_d

Z→Gal は、多分 nに対して q^n乗写像を対応させるんじゃね??

V-alg-d（ZZ） @alg_d

これが一般に代数体K/Q や 一変数代数関数体 K/F(x) でも成り立つというのが(1次元)大域類体論。QやF(x)でなく Q_pやF((x)) (あとRとC)でも成り立つというのが(1次元)局所類体論。