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錐体続論

個人的なメモです(あとでよむ). 前回の「円錐の体積=円柱の体積÷3」のまとめ http://togetter.com/li/623572 の続きにあたります.
数学 算数
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ツイートまとめ 円錐の体積=円柱の体積÷3 錐錐すいすい~~ お酒飲みながら「円錐の体積=円柱の体積÷3」的な話が盛り上がったので帰ったあとついったぁで同じ話題を出してまた盛り上がっていた。反省はしていない。 ※空間把握能力には個人差があります。 7106 pv 41 2 users 9
上のまとめへの反応です.
風霊守 @fffw2
高校数学で小学生以来の疑問(なぜ円錐は円柱の1/3なのか)が華麗に解決したときはとても嬉しかったなあ。壮大な伏線を回収して清々しい心地になった。|円錐の体積=円柱の体積÷3 - Togetterまとめ http://t.co/BhphRdvIj8 ( @t_uda さん )
風霊守 @fffw2
私も小学生のときは水の説明で習ったなあ。やはり理論で説明をしようとすると、どうしても難しくなってしまうから、実験を用いた説明で直感的理解を促すことしかできないのだろうな。
風霊守 @fffw2
私が小学生のときに愛読していたドラえもんの算数の参考書(1997年)でも水の実験で説明していた。ドラえもん曰く「やってみるしかないよね」とのこと。 http://t.co/8BG2EGlH7a
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風霊守 @fffw2
錐体の体積を最初に習うのは、現在は中1数学。私の世代が小学校で錐体の体積を学んだ最後の世代だった。(私が小6だった2001年度は学習指導要領移行措置期間だったので、錐体の体積のページはモノクロ印刷になっていた)
風霊守 @fffw2
学習指導要領に関する補足。錐体の体積は、1992年度から2001年度までは小6で学習していたが、2002年度(ゆとり教育)からは中1に移行された。2011年度から新学習指導要領が施行されたが、柱体の体積が小6に戻っただけで、錐体の体積は中1に残された。
風霊守 @fffw2
各教科書における説明が気になったので、実際に現在の中1数学の教科書4冊(大日本図書・啓林館・数研出版・東京書籍)を見てみた。どの教科書も紋切り型のように水の実験で説明をしていた。
風霊守 @fffw2
大日本図書『数学の世界1』では直方体を切って四角錐3つを作る実験も載っていた http://t.co/sIfacJnJdC
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風霊守 @fffw2
数研出版『中学校数学1』には四角錐を組み合わせて立方体を作る実験も載っていた http://t.co/TOIv32l6xu
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風霊守 @fffw2
角錐の実験はいろいろあるようだが、円錐の実験(水以外)を載せている教科書は1冊もなかった。
風霊守 @fffw2
私がもし中学生に「なぜ円錐の体積は円柱の1/3なのか?」と質問されたらどう答えるだろう。おそらく水の実験をするだろうな。それで納得しない生徒には(三角錐の体積が既知の場合)円錐を放射状に細かく切り分けて三角錐を作り、それでも納得しなかったら薄い円柱を重ねて区分求積法だな。
風霊守 @fffw2
中学生に「極限」(学習指導要領上は高校数学IIIで学習)を使うのは無理と言われるかもしれないが… まあ、熱心に質問攻めしてくるような数学大好きな生徒なら、極限っぽい操作は十分に理解してくれるだろう。
風霊守 @fffw2
「面積の単位は?」「cm2」「体積は?」「cm3」「そう、体積になると2が3になるんだ」「うん」「三角形の面積は、底辺×高さ…」「÷2」「それが立体になると、底面積×高さ…」「÷3。な〜るほど〜!!!」 などと子供騙しの説明も思いついたが、その後、面倒なことになっても知らない。
風霊守 @fffw2
どの教科書もあれこれと頭を捻って証明らしきことをしていたが、受験参考書は「底面積×高さ×1/3」という公式を載せているだけのものがほとんどだった。
風霊守 @fffw2
球の体積の公式は小学生の頃から知っていたが、教科書を遡ってみたところ、ちゃんと習ったのは高校1年生のときだった。(2012年度からは中1に移行している) http://t.co/wMy1DaqwsI
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風霊守 @fffw2
この数Iの教科書(『数学I』, 実教出版, 2005)、三角錐近似を用いて理論的な説明をしているように見えるが、よく見ると「いま、V=(4/3)πr^3であることがわかっているときには」という看過できない一節がある。
風霊守 @fffw2
次のページに発展的説明として球の体積の理論的導出が掲載されていた。流石は高校の教科書、水を用いた実験ではなく、カバリエリの原理を利用して導出している。 http://t.co/tcRUZy23gQ
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風霊守 @fffw2
でも、この証明、惜しいことに、最後から2行目で円錐の体積公式を使っちゃってるんだよなあ… (円錐の体積はまだ水の実験でしか説明していない)
🍛たろう@家庭教師生徒募集 @tarou1944
RT @鍵 球の体積は円の面積の公式風にやれないだろうか?
風霊守 @fffw2
@tarou1944 円の面積の公式風に考えてみましたが、どうしても三角錐の体積公式が必要になりますね。
🍛たろう@家庭教師生徒募集 @tarou1944
あ、てか今、円錐と球の体積がなんたらってアレを読んでいるところだったんだよ
🍛たろう@家庭教師生徒募集 @tarou1944
@fffw2 ふれっしゅくんならすでにご存じかと思いますが、アルキメデスも三角錐から円錐や球の体積を導き出したようですね
風霊守 @fffw2
@tarou1944 先程ツイートしていた http://t.co/ska2EEeIsC がソースでしょうか? 円錐はアルキメデス以前にユークリッドの『原論』で取り尽くし法を用いて証明されていますし、球の体積についてアルキメデスは円錐の体積との比しか言及していません。
風霊守 @fffw2
先人の知恵を授かるためにユークリッドの『原論』を読んでみてる
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