上のまとめへの反応です.
高校数学で小学生以来の疑問(なぜ円錐は円柱の1/3なのか)が華麗に解決したときはとても嬉しかったなあ。壮大な伏線を回収して清々しい心地になった。|円錐の体積=円柱の体積÷3 - Togetterまとめ http://t.co/BhphRdvIj8 ( @t_uda さん )
2014-02-02 00:36:59私も小学生のときは水の説明で習ったなあ。やはり理論で説明をしようとすると、どうしても難しくなってしまうから、実験を用いた説明で直感的理解を促すことしかできないのだろうな。
2014-02-02 00:37:26私が小学生のときに愛読していたドラえもんの算数の参考書(1997年)でも水の実験で説明していた。ドラえもん曰く「やってみるしかないよね」とのこと。 http://t.co/8BG2EGlH7a
2014-02-02 00:39:22錐体の体積を最初に習うのは、現在は中1数学。私の世代が小学校で錐体の体積を学んだ最後の世代だった。(私が小6だった2001年度は学習指導要領移行措置期間だったので、錐体の体積のページはモノクロ印刷になっていた)
2014-02-02 00:40:21学習指導要領に関する補足。錐体の体積は、1992年度から2001年度までは小6で学習していたが、2002年度(ゆとり教育)からは中1に移行された。2011年度から新学習指導要領が施行されたが、柱体の体積が小6に戻っただけで、錐体の体積は中1に残された。
2014-02-02 00:41:29各教科書における説明が気になったので、実際に現在の中1数学の教科書4冊(大日本図書・啓林館・数研出版・東京書籍)を見てみた。どの教科書も紋切り型のように水の実験で説明をしていた。
2014-02-02 00:41:54私がもし中学生に「なぜ円錐の体積は円柱の1/3なのか?」と質問されたらどう答えるだろう。おそらく水の実験をするだろうな。それで納得しない生徒には(三角錐の体積が既知の場合)円錐を放射状に細かく切り分けて三角錐を作り、それでも納得しなかったら薄い円柱を重ねて区分求積法だな。
2014-02-02 00:45:01中学生に「極限」(学習指導要領上は高校数学IIIで学習)を使うのは無理と言われるかもしれないが… まあ、熱心に質問攻めしてくるような数学大好きな生徒なら、極限っぽい操作は十分に理解してくれるだろう。
2014-02-02 00:46:11「面積の単位は?」「cm2」「体積は?」「cm3」「そう、体積になると2が3になるんだ」「うん」「三角形の面積は、底辺×高さ…」「÷2」「それが立体になると、底面積×高さ…」「÷3。な〜るほど〜!!!」 などと子供騙しの説明も思いついたが、その後、面倒なことになっても知らない。
2014-02-02 00:47:43どの教科書もあれこれと頭を捻って証明らしきことをしていたが、受験参考書は「底面積×高さ×1/3」という公式を載せているだけのものがほとんどだった。
2014-02-02 00:51:56球の体積の公式は小学生の頃から知っていたが、教科書を遡ってみたところ、ちゃんと習ったのは高校1年生のときだった。(2012年度からは中1に移行している) http://t.co/wMy1DaqwsI
2014-02-02 00:57:45この数Iの教科書(『数学I』, 実教出版, 2005)、三角錐近似を用いて理論的な説明をしているように見えるが、よく見ると「いま、V=(4/3)πr^3であることがわかっているときには」という看過できない一節がある。
2014-02-02 01:02:43次のページに発展的説明として球の体積の理論的導出が掲載されていた。流石は高校の教科書、水を用いた実験ではなく、カバリエリの原理を利用して導出している。 http://t.co/tcRUZy23gQ
2014-02-02 01:07:30でも、この証明、惜しいことに、最後から2行目で円錐の体積公式を使っちゃってるんだよなあ… (円錐の体積はまだ水の実験でしか説明していない)
2014-02-02 01:10:37@tarou1944 先程ツイートしていた http://t.co/ska2EEeIsC がソースでしょうか? 円錐はアルキメデス以前にユークリッドの『原論』で取り尽くし法を用いて証明されていますし、球の体積についてアルキメデスは円錐の体積との比しか言及していません。
2014-02-02 02:50:38