蒼井優さんの風船の問題、牧野先生の解説

レイジ @sinwanohate

NHK考えるカラス、蒼井優さんからの問題です。 管の両がわに大きな風船と小さな風船がついています。二つの風船はもともと同じ大きさです。管の弁を開いて空気を自由に行き来できるようにすると、風船はどのように変化するのでしょう。 pic.twitter.com/P70DTrmbLY

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レイジ @sinwanohate

解答編：答えは１番。大きい方がさらに膨らみ、小さい方が縮む。経験的に、風船を膨らませるとき最初が一番たいへんで、ある程度膨らむと楽になるっていうのと関係あるのかな？つまり、風船のゴム自体の性質っていう説明でどうでしょう？ pic.twitter.com/aw0SSeeLjn

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Jun Makino @jun_makino

pic.twitter.com/P0eRLjiFW0 2 つの風船

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Jun Makino @jun_makino

これはどっちかいうと安定性の問題。

Jun Makino @jun_makino

できるだけ面倒な計算をしないで答を出すことを考えてみる。

Jun Makino @jun_makino

ゴムの (1 次元方向に伸ばした時の ) 張力は伸ばした長さに比例するとする。

Jun Makino @jun_makino

ある大きさの風船上で単位面積のエリアを考える。

Jun Makino @jun_makino

この風船を 2 倍の大きさにふくらますと、もとの単位面積のエリアは 4 倍 の面積になる。単位長あたりの張力は、辺で積分した張力は倍だとすれば 変化しない。

Jun Makino @jun_makino

この 2 つの風船に、同じ量の空気をいれてちょっとだけふくらませることを考える。

Jun Makino @jun_makino

そうすると、大きいほうの風船の直径の変化は、小さいほうの 1/4 であ ることがわかる。

Jun Makino @jun_makino

(2+y)^3-2^3 = (1+x)^3^1 を、 x, y <<1 で解くと x=4y になるので。

Jun Makino @jun_makino

そうすると、仕事の量としては 2 倍の直径の風船を微小体積膨らませるの は、もとの直径のものの 1/2 になる。張力は倍だが、伸ばす量が 1/4 なので。

Jun Makino @jun_makino

なので、大きな風船に空気をいれるのは、小さい風船に同じ体積の空気 をいれるとより楽であり、そのため、 2 つつなぐと小さい側が縮んで大きいほ うがより膨らむ。

Jun Makino @jun_makino

なんか美しくないな。まあ要するに、風船のポテンシャルエネルギーが、 半径を r として kr^2 と書ける、ということだ。そうすると、体積を V とするとこれは k'V^(2/3) になるから、微分してでてくる力は cV^(-1/3) となって直径が小さいほうが大きい。

Jun Makino @jun_makino

と、形式的にはこれで話は終わりである。最後の tw だけ書くと大変エレガントにみえない？

Jun Makino @jun_makino

まあ本当は最初のサイズが 0 じゃないから、この導出ちょっと適当。

Jun Makino @jun_makino

ここの議論では空気の圧縮性は無視している。風船の中身でも 1 気圧とたいしてかわらないからである。

Jun Makino @jun_makino

ふむ。

Jun Makino @jun_makino

風船は最初に有限の大きさを持つ、ということを考慮すると、 ポテンシャルエネルギーが k(r-r_0)^2 となる。なのでこれは ( 以下面倒 なので比例係数省略 ) [V^(1/3)-V_0^(1/3)]^2 。

Jun Makino @jun_makino

つまり、 V^(2/3)-2V^(1/3)V_0^(1/3) で、力にすると (2/3)[V^(-1/3)-V^(-2/3)V_0^(1/3)]

Jun Makino @jun_makino

もう一度微分して最大値とそれをとる V の値を求めるのは計算練習とい うことで。