全ての素数の積が偶数なのが納得がいかない数学徒たち

「全ての素数の積は偶数」という主張についての数学徒の意見をまとめました。 一部のツイートは http://togetter.com/li/749163 に掲載されているものをそのまま転載しました。 続きを読む
数学 素数
84194view 11コメント
101
事件の大元となったツイート
すざく(ひよこ) @suzakus
これの答えが偶数なの未だに納得いかない pic.twitter.com/ET0EfIBWCr
 拡大

非専門家向けまとめ

ツイートまとめ 全ての素数の積が偶数なのが納得がいかない人たち 議論はまとめ中盤から 537940 pv 4781 537 users 2451

解析的整数論の人々の意見 1+2+3+...=-1/12という不思議な“等式”が数学の世界では知られています。これは「Riemannのζ関数の解析接続」という方法を用いて証明されます。この方法と同様にして今回の無限積について議論したのがこちら。
ちえみー @Emmy112358
全ての素数の積について気になる人はこの論文読んだらいいんじゃないですか? link.springer.com/article/10.100…

Abstract
We generalize the classical definition of zeta-regularization of an infinite product. The extension enjoys the same properties as the classical definition, and yields new infinite products. With this generalization we compute the product over all prime numbers answering a question of Ch. Soulé. The result is 4π2. This gives a new analytic proof, companion to Euler’s classical proof, that the set of prime numbers is infinite.

要約すると「全ての素数の積は4π^2になる」

ちえみー @Emmy112358
ζ関数の本来発散するはずの値をくりこみ・正規化で求める操作があって物理で使うらしいという話は聞いたことがあるけど、ふーんって感じですね(実際物理界隈でありがたみを感じてる人っているのかな)。
alg-d@2019年はスッスッスを見ろ @alg_d
さっきの奴の二ページ先に「全ての素数の積は存在しない」って書いてあったわ^^;
すざく(ひよこ) @suzakus
解析接続しても4π^2でやっぱり「どちらでもない」が答えということでひとつ
素数カクテル @shinchan_prime
@suzakus 参考文献であげられていた論文は有料で見られない方もおられると思うので日本語で書いた記事をあげておきます。(間違えている箇所があるかもしれませんが) dl.dropboxusercontent.com/s/yvapqyog8zn9…
すざく(ひよこ) @suzakus
@shinchan_prime わあ!わざわざありがとうございます!自分の数学力でどこまで理解できるかわかりませんがとても助かります!
いい話🗝 @goodstoriez
“無限級数と解析接続とゼータ関数とリーマン予想と - のき屋” htn.to/w7pfLE
リンク はてなダイアリー 無限級数と解析接続とゼータ関数とリーマン予想と - のき屋 みなさんはこんな式をみたことありませんか? まったくもって意味不明です。でもなんだか不思議でちょっと..
いい話🗝 @goodstoriez
“全ての素数の積が4π^2になる件についての調査ログ (ゼータ関数の解析接続や,リーマン予想とカシミール効果) - 勉強メモ” htn.to/FvTPQN
リンク はてなダイアリー 全ての素数の積が4π^2になる件についての調査ログ (ゼータ関数の解析接続や,リーマン予想とカシミール効果) - 勉強メモ 全ての素数の積は,4π^2になる。 この件に関する直接的な証明と,等式の解釈の注意点: primeproduct.dvi..
いい話🗝 @goodstoriez
無限個の素数の積とか古典的には有界でないので存在し得ないし、ゼータ関数使って解析接続したら4π^2とも解釈出来るってだけだろ。
原子心母 @atomotheart
【等式の意味】無限和、無限積は収束の意味を変えると色々になる。例えば、数列{a_n}が収束しなくても、そのn番目迄の相加平均のなす数列{b_n}は収束する事もあるのでその極限値αをもって、a_nはαにチェザロ収束するという。例えば、1-1-1-1-1-・・・は1/2にチェザロ収束
原子心母 @atomotheart
続き ζ関数を解析接続してζ(s)を対数微分してs→0とすることによりΣlog p(p 素数)に意味をもたせる事も出来るので、全ての素数積をその意味で計算も出来る。元の問題の体質から考えると、超自然数を導入して理解するのが一番楽だと思う。
スマートコン @mr_konn
そういえば、自然数の総和はζで解析接続すると-1/12になるというのは有名な話だけど、あくまでも解析接続するとという話であって、それをもって1+2+3+…=-1/12 といってしまうのには違和感があるんですが、数論の人としてはどうなんでしょう
Paul Painlevé@JPN @Paul_Painleve
素数の積が4π^2になることの証明 preprints.ihes.fr/M03/M03-34.pdf さほど難しい数学は使ってないが、指数函数の無限積表示と、ζ函数の逆数のディリクレ和表示と、ともにメビウス函数が表れるところを使っている箇所がキーになっていて、ちょっと説明し辛い。
Paul Painlevé@JPN @Paul_Painleve
あと、ζ(0)=-1/2 と、ζの微分の値 ζ'(0) =-1/2 log(2π) も使っていて(後者は函数等式を対数微分すればすぐに出る)、πが表れる理由になってる。ζ(-1)=-1/12 と違って非数学科の人には説明し辛いが、逆に数学徒には以上2ツイートでだいたい伝わる。
残りを読む(113)

コメント

みながわ あおい @Minagawa_Aoi 2014年11月25日
「全ての素数の積」ならまだしも「全ての偶数の積」が偶数にならないかも知れない(偶数は無限個存在するから)のかなぁ。
氷雨(鴎)@シャニLV南大沢10日昼 @kamome54 2014年11月25日
なんだろうこの登れない山をあえて登ろうとしたようなモヤモヤ感
プルフェイド・リュパール @purufeido 2014年11月25日
純粋数学ってすごい・・・近寄らんとこ
相転移P @phasetr 2014年11月26日
Minagawa_Aoi 定義というか立場というかその辺の微妙な塩梅によりますが、素朴にいうなら(私が素朴に答えるなら。私が普段使っている数学の範囲で答えるなら)「全ての偶数の積」は発散して無限大なのでそもそも数ではないから偶奇もへったくれもない、と答えます
kenton @M11975627207777 2014年11月26日
「全ての素数の積」が自然数であるとする、それをnとおく このときn+1はnと互いに素な自然数であるからn+1はどんな素数でも割り切れない これは任意の自然数が素数の積のかたちで書ける(素因数分解できる)ことに矛盾する、よって「全ての素数の積」は自然数ではない
kenton @M11975627207777 2014年11月26日
上の証明より「全ての素数の積」は自然数ではない。だから「全ての素数の積」の偶奇は定義されない。
kenton @M11975627207777 2014年11月26日
数学徒のみなさんにお聞きしたいです。私が上に述べたことは正しいでしょうか?間違っている点などあれば、ご指摘くだされば幸いです。
積分定数 @sekibunnteisuu 2014年11月26日
M11975627207777 それはご自分で考えたのでしょうか?だとしたらすごいことです。 ユークリッドの素数が無限個ある証明を、自分で見つけたことになります。
kenton @M11975627207777 2014年11月27日
sekibunnteisuu いえ、ユークリッドによる素数が無限個あることの証明は知っていました。その証明のアイデアを利用して、全ての素数の積が自然数でないことを証明してみた感じです。
積分定数 @sekibunnteisuu 2014年11月27日
M11975627207777 そうでしたか。了解しました。
特車第二艦隊第一戦隊 @hiko_ssasa 2018年3月13日
素数が無限に有る証明は有限だとしたら全ての素数を掛け合わせた値Nに1を加えると素数になるので矛盾する。 無限大だから偶数も奇数もないって言うならNに1を加えたら素数になるって前提そのものが崩壊しないのか?
ログインして広告を非表示にする
ログインして広告を非表示にする