【基礎の公理】∈の無限降下列を作るには従属選択公理ではなく可算選択公理があればよいか?

はかり@C103 1日目東ソ44b @mg_toHKR

正則公理と無限降下列の非存在が同値であることを示すのに使ったのは従属選択公理だけど、無限降下列作るなら別に可算無限でいいわけだし可算選択公理でも良いのでは

MarriageTheorem @MarriageTheorem

twitter.com/mg_toHKR/statu… これ、何となく違いそうな気がするけど実際どうなのでしたっけ

ゼルプスト殿下 @tenapyon

@MarriageTheorem 確かダメだったはずです。後で調べます。

ゼルプスト殿下 @tenapyon

@MarriageTheorem 「可算回の選択だから可算選択公理で十分では？」という考えの問題点を指摘するのは簡単ですが、反例があるかというと、それは基礎の公理が破れているのに∈-無限下降列が存在せずそのうえ可算選択公理が成立するモデルなので、容易には用意できませんね。

ゼルプスト殿下 @tenapyon

@MarriageTheorem そういう文献を探しているんですがMathSciNetにはそれらしいものが見当りません。

MarriageTheorem @MarriageTheorem

@tenapyon 調べていただきありがとうございます。もし何かわかりましたら教えていただけますと嬉しいです。

ゼルプスト殿下 @tenapyon

MathSciNetで見つからないばかりか、部屋のどこかにあるはずのJechの «The Axiom of Choice» すら見つからない… （この二つを同格に並べてはいけない。）

ゼルプスト殿下 @tenapyon

フレンケル・モストフスキ・モデルの方法で基礎の公理の二つのバージョンが同値でないことは示せる気がするので、あとはそのモデルで可算選択公理とが成立しているかどうかですかね。

USB^800 @usb_usb

@MarriageTheorem @tenapyon 導けないモデルが多分できました（横からそろっと

ゼルプスト殿下 @tenapyon

@usb_usb @MarriageTheorem おっ早いなあ。さすがにこういうの俺はUSBくんたちにかなわない。 forcing使いました？

USB^800 @usb_usb

アイディア：ZF＋可算選択公理＋￢DCのモデルからスタート。<X,R>を￢DCのウィットネスとする。このXは外延的（xとyのpredessor全体が一致したらｘ＝ｙ）と思ってOK.

USB^800 @usb_usb

permutationモデルでもOKだと思うけど、もっと簡単そうな旧版クーネン4章演習１８を使う。VからVへの写像FをXの要素ｘとそのpredessor全体をスワップ、ほかは動かさないようなものとして、aEb ⇔a ∈F(b)で定義する。

USB^800 @usb_usb

一般論として、＜V,E>はZF^-のモデルになる。後は本物の可算選択公理から<V,E>も可算選択公理をみたし、ついでにEの無限降下列は存在しないことがチェックできる、はず。

USB^800 @usb_usb

あ、あともちろん<V,E>では正則性はなりっていないこともチェックできる。

USB^800 @usb_usb

（もうちょっと発展させれば、修士論文あたりのネタにはできそう…）

ゼルプスト殿下 @tenapyon

@usb_usb @MarriageTheorem あっ、もう詳細が書いてありましたね。俺の考えた筋は少し違ってて、木[0,1]^{<ω}を下向きの半順序だと思ってこれと同型な推移的集合Tが存在する集合論でWF(T)を作りTの節の後続者を入れ換える置換の群で置換モデルを作るの。

USB^800 @usb_usb

@tenapyon @MarriageTheorem　ZF＋可算選択公理＋￢DCのモデル作るのに使うといえば使います。このモデルが得られちゃえば、あとはそこから非整礎モデルをつくる普通の方法で。

USB^800 @usb_usb

@tenapyon @MarriageTheorem 多分やってることはほとんど一緒ですね。自分の方は若干のインチキしちゃってるだけで。

はかり@C103 1日目東ソ44b @mg_toHKR

@tenapyon はじめまして。可算選択公理の話、もうただすごいなぁと思って見ていたのですが可算選択公理は選択公理を可算無限に制限したものではないのですか？ いきなり質問しちゃってすみませんがよろしければ・・・

ゼルプスト殿下 @tenapyon

@mg_toHKR こんにちは😊可算選択公理は可算個の集合が先に与えられているときに「こいつらから1個ずつ要素を取ってこい」って言われたらできますよ、っていうことですね。これに対して従属選択公理は、1人を倒してもそれより強い奴が無数にいる少年ジャンプの作品世界みたいな所で（続き

ゼルプスト殿下 @tenapyon

@mg_toHKR 1人目はこいつ、2人目にそれより強いこいつ、3人目にさらにそれより強いこいつ、…、という無限列が取れますよということで、選択は確かに可算回ですが、選択されるものの範囲がそれまでに選択してきたものに依存しながら変わっていくところが違います。

ゼルプスト殿下 @tenapyon

@mg_toHKR この違いが意外に大きいんです。∈無限下降列は、何か集合が決まらないと、その次に取る要素の範囲も決まらないから、従属選択が必要になってくるのです。 って説明でよろしいでしょうか？

はかり@C103 1日目東ソ44b @mg_toHKR

@tenapyon わかりやすい説明ありがとうございます！ 可算選択公理は最初から可算無限個の集合がないと使えないんですね・・・ 本当にありがとうございます、勉強になりました。

ゼルプスト殿下 @tenapyon

@mg_toHKR どういたしまして(^^) 集合論のこのあたりに詳しい人は日本ではまだまだ層が薄いので、興味を持ってくれる人がいると本当に嬉しいです。