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受験数学たん @j_suugakutan
センター初日お疲れ様。 明日はいよいよ数学だね。僕も22時くらいかツイートどんどんして行く予定なのでよろしく…え、遅い?
受験数学たん @j_suugakutan
【センター数学 数列】 センターの数列は ・基本事項の組み合わせ ・新しい数列(or漸化式)を考える のどちらかのパターンに分かれるね。 他の分野に比べて、誘導に乗りにくい分野でもあるから、まずは基本事項についてまとめて、最後に裏技的な話をします。
受験数学たん @j_suugakutan
【基本的な数列】 基本的な数列は3つ。それぞれの一般項と漸化式の関係、和の求め方はOK? a_(n+1)=a_n+d⇔a_n=a_1+(n-1)d a_(n+1)=ra_n⇔a_n=a_1*r^(n-1) a_(n+1)=a_n+b_n⇔a_n=a_1+Σ[k=1,n-1]b_k
受験数学たん @j_suugakutan
【漸化式】 漸化式に関しても、先ほどの「基本的な数列」の3つのどれかに帰着させるんだよ。 例えば代表的な a_(n+1)=3a_n+2 のようなものは、等比数列に帰着させるために α=3α+2 を引いてあげることで、 a_(n+1)-α=3(a_n-α)っていう等比数列になるね。
受験数学たん @j_suugakutan
【群数列】 群数列のポイントは 「n-1群の最後までの項数(Nとする)を数える」こと。 まずNを求めて、n=N+1を元の数列の一般項に代入してあげれば、n群の初項が求まる。
受験数学たん @j_suugakutan
【漸化式と最大最小】 「a_nはn=□で最大になる」とかあったら、 a_(n+1)-a(n)を考えてあげよう。 a_(n+1)-a(n)>0ならばa_(n+1)>a(n)に決まってる。
受験数学たん @j_suugakutan
【Σ計算】 シグマ計算は、代表的な公式以外は具体化しようね。 Σ[k=1,n]a_kなんてのは要するにa_1+a_2+…+a_nを省略したものに過ぎないんだから。 ついでに等差×等比型の和にも注意。等比をかけて引く。 ついでに部分分数分解で消えていく和とかも思い出そう。
受験数学たん @j_suugakutan
【一般項を推測する】 a_(n+1)=pa_n+q型の漸化式の一般項は a_n=Ap^n+Bです。 これにn=1,2を代入すれば、A,B求まるね。 他にも、a_(n+1)=pa_n+r^n型の漸化式はr^nで割ったりするのが一般的だけど、a_n=Ap^n+Br^nからA,B求める
受験数学たん @j_suugakutan
【特殊な形の漸化式】 ・分数型;逆数を取る ・連立型;和と差を取る(これで解けないのは難しい) ・f(n)を含む;階差に持ち込むか、具体化するか などなど。いろいろパターンはあるけど、センターではあまり使わない?
受験数学たん @j_suugakutan
【三項間漸化式の裏技的解法】 a_1=2,a_2=7,a_(n+2)-3a_(n+1)+2a_n=0の一般項を求める。 特性方程式x^2-3x+2=0よりx=1,2 一般項はa_n=A1^n+B2^nと推測できる。 n=1,2としてA+2B=2,A+4B=7 A=-3,B=5/2
受験数学たん @j_suugakutan
【センター数列の裏技】 センターの特徴は、0〜9の数字を埋めればいいってこと!それを最大限に利用する裏技があるのは知ってるかな? (1)空欄を変数と見る (2)変数の数だけ、nを具体的に代入して方程式を立てる (3)方程式を解く pic.twitter.com/R8H76Mm4A0
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受験数学たん @j_suugakutan
はい、というわけでセンター数列でした。 他の分野と違って、とても具体化しやすいので、困ったらn=1,2,3と代入していって妥当そうなものを探そう。 最後はセンターベクトル。
受験数学たん @j_suugakutan
【センター数学 ベクトル】 ここ3年間で空間と平面が交互に出題されてるから今年は平面?そんな予想立てていいの? この分野の面倒なところは、とにかく計算が煩雑になることだね。分数計算ドリルかな? ポイントは図形的にも攻めること。図がかけないとベクトルじゃないじゃん!(大嘘)
受験数学たん @j_suugakutan
【ベクトルの計算】 ベクトルの計算は、成分表示なのかベクトルとして扱うのか。まずは決める。 絶対値は2乗。内積は定義式も忘れない。 普通の計算の時は始点を統一。逆に分解することも忘れない。 また、時間短縮のためベクトルOAよりもaベクトルと計算したほうが楽だったりする。
受験数学たん @j_suugakutan
【位置ベクトル】 点をどうやってベクトルで表すか?図形を式に翻訳する。 ・内分点、外分点 ・ベクトル方程式(パラメータによって動くイメージ) もちろん「3点が一直線にある条件」なども忘れない。
受験数学たん @j_suugakutan
【平面上の点の表し方】 平面上のどんな点P(p)も、2つの平行でないベクトルa,bによって p=sa+tb の形で表せる。位置ベクトルの基本はこれ。 さらにpを2通りに表すことで、係数比較して特定するのが一般的。 特にs+t=1ならば、Pは直線AB上にある…超大事!
受験数学たん @j_suugakutan
【ベクトルと交点】 交点の位置ベクトルが未だに求められない? ABとCDの交点をPとすれば、 PはAB上だからp=sa+(1-s)b PはCD上だからp=tc+(1-t)d あとは表し方をうまいこと統一すればいいんじゃない?
受験数学たん @j_suugakutan
【係数の和に着目】 ABとCDの交点をPとすれば、 PはAB上だからp=sa+(1-s)b これを変形してp=◯c+△dにする。 ◯と△はsの式。PはCD上だから◯+△=1。係数の和は1。
受験数学たん @j_suugakutan
【ベクトルと面積比】 ベクトルと面積比の問題は、辺の比を出すことで面積比を求めていくイメージ。 辺の比を出すには?無理やり内分点の公式の形にしたりすればいいわけだ。 無理やり式変形といえば、aPA+bPB+cPC=0の問題。始点をAとかに統一するやつ。
受験数学たん @j_suugakutan
【二項定理】 二項定理は今では数Ⅱで扱うんだよ。知ってたかな? 教科書だと(a+b)^3の一般化として(a+b)^nを考える文脈。 イメージは、n個のaとbのうち、何個aを選ぶ?って感じ。 (a+b)^5におけるa^3b^2の係数は、5個のaとbのうち、3個aを選ぶから5C3
受験数学たん @j_suugakutan
【内積】 内積のイメージは、方向を同じにしてその長さをかけてる感じ。 a・b=|a|・(|b|cosθ)ってことだね。()内はcosθをかけることでaと同じ向きにしてるわけ。 実際には計算の道具として使う。内積、大きさ、間の角の三要素をつなぐ。 もちろん垂直ならば内積=0。必須。
受験数学たん @j_suugakutan
【円のベクトル方程式】 滅多に出ないけど、念のため確認。 点Pが中心C、半径rの円上だと、|CP|=|OP-OC|=rとなる。 絶対値だから計算だと2乗して扱おうか。
受験数学たん @j_suugakutan
【空間ベクトル】 平面ベクトルを拡張させただけ。 例えば、平面における直線と直線の交点が、平面と直線の交点に変わる。 平面ABC上のベクトルPは AP=sAB+tACで表せる。 もしくは、OP=OA+(sAB+tAC)。 PがAに行って、そこから(平面ABC上)を動くイメージ。
受験数学たん @j_suugakutan
【メネラウス・チェバの定理】 さっきも言ったように、ベクトルは比が命。 比を求める簡単な定理に、メネラウスの定理とチェバの定理がある。 数Aの平面図形で習う定理だけど、使えたりするんだよね。
受験数学たん @j_suugakutan
センターのベクトルは結局は典型問題なので、未だに苦手な人は要確認しよう。 …統計に関してはやらなくてもいいかな? 次からは数学のセンター試験全体に関するツイートをしていくね。
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