強制法におけるジェネリックフィルターとアフィンスキームにおけるジェネリックポイント

スマートコン @mr_konn

強制法は実際幾何のジェネリックポイントと対応がつくみたいな話を池上さんがサマースクールでされていたけど、ぼくはジェネリックポイントのことをよく知らないのだった……

p進大好きbot @non_archimedean

@mr_konn なんかあれスキームって言ってたの全部連結スキームの事だったような気がしますけどね。一般のスキームのジェネリックポイントで成り立たない性質を何度かジェネリックポイントっぽいと形容していた気がします。

スマートコン @mr_konn

@non_archimedean なるほど

p進大好きbot @non_archimedean

@mr_konn 曖昧で無意味なツッコミになってしまいましたが、多様体のジェネ点は「その近傍の十分一般の点で成り立つ性質を全て兼ね揃えた点」的なもので多様体が非連結のときはジェネ点が複数になり「その近傍」が排他的になるので「十分一般の点で成り立つ性質」も互いに異なる的な意図です。

スマートコン @mr_konn

@non_archimedean なるほどなるほど。強制法でも、どの強制条件で強制するかでジェネリックフィルターの性質を制御したりはできます。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@non_archimedean @mr_konn 初めまして、池上大祐と申します。サマースクールの講義についてのコメント、ありがとうございます。はい、講義で話していたことは連結でないとまずいです。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@non_archimedean @mr_konn 一方で、講義中では、一般のスキームではなく、Spec(R)（Rは単位元付き可換環）についてのみ言及していました。この点が明確でなかったとしたら、僕の説明の仕方が悪かったんだと思います。ごめんなさい。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@non_archimedean @mr_konn 強制法では、ZFCの推移的可算モデルMと（M内の）順序集合Pが与えられた時、Pの超フィルター全体の空間St(P)を考え、Mで「コードできる」任意のSt(P)内の稠密開集合に属する点を、M上のP-ジェネリックフィルターと呼びました

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@non_archimedean @mr_konn Spec(R)のジェネリック点の定義が「任意の空でない開集合と交わる（i.e.一点の閉包が全体）」だとすると、Spec(R)では、任意の空でない開集合は稠密になるので、

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@non_archimedean @mr_konn 強制法におけるジェネリックフィルターはSpec(R)のジェネリック点の類似物である、というのが講義での趣旨です。ただし、コーエンがどういう経緯で強制法におけるジェネリックフィルターを導入したのか、ということは僕にはわかりません。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@non_archimedean @mr_konn 他に、コメント・おかしなところ・間違っていそうなところなどありましたら、ご指摘いただけると助かります。よろしくお願いします。

p進大好きbot @non_archimedean

@DaiskeIkegami 詳細な補足をありがとうございます。Spec(R)についてであると言及されていたかどうかは覚えていませんが、そういう趣旨であることは察せる説明だったと思います。ただ講義中も質問させていただきましたが（続きます）

p進大好きbot @non_archimedean

@DaiskeIkegami 「Spec(R)では、任意の空でない開集合は稠密になる」の部分はスキームより狭めてSpec(R)についてのみ考えているとしても偽で、Spec(R)の場合も連結性の過程が必要に存じました。特に非ネーターな単位的可換環の（続きます）

p進大好きbot @non_archimedean

@DaiskeIkegami Specには極小素イデアルに対応する点が無限個存在し得ます。Bool代数などが典型例で、HausdorffなSpecが現れることがあります。こうした状況も扱えるようにgeneric pointの定義はもう少し緩めることがありますが、（続きます）

p進大好きbot @non_archimedean

@DaiskeIkegami 池上先生の仰ったような定義なら、Spec(R)の場合に制限したとしてもそもそも存在しない場合があるということを無視すれば、講義中の説明にも納得がいきました。その定義で認識していなかったため少し混乱しておりましたが理解出来ました。ありがとうございます。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@non_archimedean ご指摘どうもありがとうございます。可換環論の基本的な部分を完全に勘違いしていました。そうですね。「任意の空でない開集合が稠密」という命題は、一般のSpec(R)では成り立ちませんね。失礼いたしました。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@non_archimedean こちらの不勉強で混乱させる講義をしてしまい、申し訳ありません。教えて下さってどうもありがとうございました。

p進大好きbot @non_archimedean

@DaiskeIkegami こちらこそご丁寧にありがとうございます。連結性を課せばその稠密性は常に真ですが、当時Hausdorffなスキーム（任意の点が弱い定義でgeneric pointになる）ばかり扱って研究していたので個人的にびっくりしただけです。こちらこそ失礼しました。

p進大好きbot @non_archimedean

@DaiskeIkegami いえいえ、全体的に初心者にも配慮された解説がなされており、本質的な部分での混乱は感じませんでした。講義に関しましては非常に勉強になりましたのでその点に関しても改めてお礼を申し上げたいと思います。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@non_archimedean なるほど。確かにそうですね。> 連結性を課せばその稠密性は常に真　教えて下さってありがとうございます。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@non_archimedean わざわざ神戸まで聞きに来てくださってどうもありがとうございました。たくさん質問してもらって、とても助かりました。今後、もし同じような機会でお会いすることがあれば、そのときはまた、よろしくお願いいたします。今日はどうもありがとうございました。

p進大好きbot @non_archimedean

@DaiskeIkegami ごめんなさい連結性と既約性を素で間違えました・・。連結ならgeneric point同士が接触することまでなら従いますが、稠密性を言うには連結性より強く既約性（極小素イデアルが１つであること）を課さなくてはいけないのでした。

p進大好きbot @non_archimedean

@non_archimedean 自分用メモ： ×連結 ○既約

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@non_archimedean 補足ありがとうございます。外出していて返事が遅れました。ひさしぶりにお酒を飲んで、その後湯船につかったらフラフラになったので、また落ち着いてから、考えて、返信することにします。

p進大好きbot @non_archimedean

@DaiskeIkegami 何卒ご自愛下さい。取り留めのない補足ですので読み飛ばして下さって一向に構いません。