SL(2,Z) と双曲空間についての議論まとめ

@tsujimotter が作った「基本領域ゲーム」をきっかけとして、@taketo1024 さん、@matsumoring さんとの関連する熱い議論に発展しました。SL(2, Z) 、双曲空間、ポアンカレ円板についての話です。 tsujimotter 自身が、大変勉強になりましたのでまとめました。 付き合ってくれたお二方に感謝です!
数学
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tsujimotter @tsujimotter
はてなブログに投稿しました 「基本領域ゲーム」を作った - tsujimotterのノートブック tsujimotter.hatenablog.com/entry/fundamen… pic.twitter.com/9QNQRtu0Zv
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tsujimotter @tsujimotter
T,S,T,S,T,T,S,T,S の順に作用させると、比較的容易に T の逆元が出来ることが分かった。 #基本領域ゲーム tsujimotter.info/works/fundamen…
リング @matsumoring
@tsujimotter 移動時間にここまでは頑張りました◎ pic.twitter.com/ShIyPFfv9E
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tsujimotter @tsujimotter
@matsumoring おお!素晴らしいです!左右対称に近いのもポイント高いですね!プレイしていただいてありがとうございます^_^
tsujimotter @tsujimotter
あ、そっか!一次分数変換だから SL(2,Z) じゃなくて、ほんとは SL(2,Z) / {-I, I} なのか!
リング @matsumoring
@tsujimotter SL(2;R)=Z/2Z*Z/3Zを使って順番に潰して行きましたが、何回も同じところを通るので色が変わらなくなると操作ミスで沈没しましたw
tsujimotter @tsujimotter
@matsumoring なんと,そんな群同型があったのですね!群論を使った解法は興味深いです!笑 思い付きで基本領域の色を若干透過させてみたのですが,結果的にはゲームとして面白く働いていそうですね。
リング @matsumoring
@tsujimotter SL(2;R)→ SL(2;Z)の誤りでした。U=STとおくとS^2=U^3=Eでこれらが生成元なのでS,U,U^2,US,U^2S,...と並べていけば全て埋め尽くせるはずです。ただ、どの領域も1回だけ通るとかそういうのはなさそうな気がしました。
リング @matsumoring
@tsujimotter 色が透過していたので、出来るだけ重複を少なくするにはどうすればいいかなど考えられて面白いです◎
リング @matsumoring
@tsujimotter 上半平面ではなくて円板で作ると画面内に全部収まるので見やすいかもしれないですね!
tsujimotter @tsujimotter
@matsumoring それ先ほど @taketo1024 さんにも言われました笑 円盤ってどういう変換かければ良いのでしたっけ?
さのたけと @taketo1024
@tsujimotter @matsumoring i が中心に移って実軸が円周に移るような一次分数変換を考えれば行けたはずです!
リング @matsumoring
@tsujimotter @taketo1024 Caley変換w=(z-i)/(z+i)で上半平面が円板に写ります。円板に一次分数変換で作用する行列は(p*,q*,q,p)∈SL(2;C)でp,qがGauss整数のはずです。
tsujimotter @tsujimotter
@taketo1024 @matsumoring ありがとうございます!一瞬で実装出来そうですね!今晩帰ったら早速やってみます^_^
リング @matsumoring
@tsujimotter @taketo1024 ここで*は複素共役、行列は順に11成分、12成分、21成分、22成分です◎
tsujimotter @tsujimotter
@matsumoring 答えをありがとうございます(笑) 早く家に帰りたくなってきました… @taketo1024
tsujimotter @tsujimotter
大学の複素関数論で習ったときは「一次分数変換」とか「ケーリー変換」とか、一体どこで使うんだ、とか思ってたけど、まさかこんなに有用とは。驚きです。
tsujimotter @tsujimotter
@taketo1024 微妙な修正ですが、今回のは境界条件も意識してます笑
tsujimotter @tsujimotter
@taketo1024 いえ、今回はシンプルにCanvas使ってます。一切ライブラリ使用せず、完全スクラッチから書きました。
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