物理世界の計算可能性についての議論

杉田歩 @ayumu_sugita

実は、離散と連続の話の前にちょうどこういう話をしていました。物理で普通出てくる量って、πとか√2とかの無理数でも、少なくとも近似計算のアルゴリズムは存在して、だからこそ実用的に約に立つ数になっている。そういう、「近似アルゴリズムが存在する数」（計算可能実数）は、高々可算個しかない

杉田歩 @ayumu_sugita

可算個しかない理由は簡単で、近似アルゴリズムは有限の長さのプログラムでかけるはずだけど、そもそも有限の長さの文字列が可算個しかないから。

杉田歩 @ayumu_sugita

そうすると、実数のほとんどは、近似アルゴリズムさえ存在しないようなよく分からない数なんだけど、そんな「数」って自然を記述するのに必要なんだろうか、という疑問が湧く。純粋に数学的な操作に限っても、微分や積分は計算可能実数の範囲で可能だし。（近似アルゴリズムが存在するから。）

TANIMURA Shogo @tani6s

.@ayumu_sugita 量子力学で連続スペクトルをどう扱うかという問題はもう片付いていると思いますが、提起されている問題が面白いので、少し言葉を補います。深追い、ごめんなさい。

TANIMURA Shogo @tani6s

.@ayumu_sugita 計算可能性という問題はあるでしょうね。

TANIMURA Shogo @tani6s

.@ayumu_sugita 微分方程式（ハミルトン系）を時間離散化すると、エネルギー保存則とシンプレクティック性とを同時に保つことができない、という定理があります。kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuro…

TANIMURA Shogo @tani6s

.@ayumu_sugita シンプレクティック性が保てないと、リウビル測度（相空間の体積）が時間発展で保たれる保証がない。kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuro…

TANIMURA Shogo @tani6s

.@ayumu_sugita シンプレクティック性を犠牲にすれば、可積分な連続系から可積分な離散系を作ることができる例が知られています。www-is.amp.i.kyoto-u.ac.jp/lab/research/

TANIMURA Shogo @tani6s

.@ayumu_sugita ある力学系が積分可能か否か判定せよ、という問題は、チューリングの決定問題に似た難しさがあるようです。例えば、重力N体系は、積分不可能と予想されるが、決定できるか否かわからない。これはこれで興味深い問題です。ci.nii.ac.jp/naid/110006438…

杉田歩 @ayumu_sugita

@tani6s いえいえ、他の人の意見が聞けるのは面白いので、ぜひ続けて下さい。

TANIMURA Shogo @tani6s

@ayumu_sugita もう一言二言付け加えますね。

TANIMURA Shogo @tani6s

.@ayumu_sugita すべての実数を出力すべしという問題に出会うことは、たぶんないでしょうね。

TANIMURA Shogo @tani6s

.@ayumu_sugita しかし、実数の微積分を使って手で解ける微分方程式もあるのですから（それが自然現象に対する近似解になっているのですから）、実数そのものの効用が否定されることは、あり得ないと思います。

杉田歩 @ayumu_sugita

.@tani6s そうですね。実数の有用性にはまったく疑いがない。ただ、僕が言っているのは、「実数を使わないと記述できない」とまで言える自然現象の例はあるか、と言われれば、それはないんじゃないか、ということです。

TANIMURA Shogo @tani6s

.@ayumu_sugita 私は、自然科学には連続も離散も必要だろう、という（おそらく）当たり前のことを言っているつもりです。一方で他方が近似できるとか、一方は不要だとか言うのは慎重にすべきだと思っただけです。杉田さんも、これには同意されるでしょう。

TANIMURA Shogo @tani6s

.@ayumu_sugita 我々が自然現象を記述し予測するためには、どれだけの数学言語があればよいか、どれだけそれを使えばよいのだろうか、という問題は、それはそれで大問題だと思います。

杉田歩 @ayumu_sugita

@tani6s そうですね。不要とか言うつもりは全然ないです。

TANIMURA Shogo @tani6s

.@ayumu_sugita 格子ゲージ理論については、私はいろいろ疑問があるのですが、それは言い出すと大変なので、控えておきます。

TANIMURA Shogo @tani6s

.@ayumu_sugita この話題はこのへんで切り上げましょう。私はいろいろ思考を刺激されてよかったと思います。

杉田歩 @ayumu_sugita

@tani6s こちらこそ。どうもありがとうございました。

TANIMURA Shogo @tani6s

.@ayumu_sugita それは大問題ですよね。でも、ありのままの自然現象を見て答えが出るたぐいの問題ではないですよね。我々はどれだけの数学言語を操ることができて、それを自然界と照合できるか、という問題ですから。

TANIMURA Shogo @tani6s

@ayumu_sugita 面白かったです。

杉田歩 @ayumu_sugita

.@tani6s 自然現象の記述、予測が、我々の測定精度の範囲で理論と一致していればよい、というだけなら、実数そのものではなくて、その中の離散的あるいは稠密な集合で置き換えた理論を使っても問題はないだろう、というのが僕が言ってることですね。

杉田歩 @ayumu_sugita

.@tani6s ただ、もちろんそれは元々実数でかかれたきれいな理論を知っているから出来るのであって、初めから「実数使用不可」と言われれば、ものすごく話が面倒くさくなるのは確実です。そういう意味で、実数は間違いなく有用で、必要不可欠と言ってもいい。

TANIMURA Shogo @tani6s

@ayumu_sugita 実数の連続性を使えば、F(x+y)=F(x)F(y) を満たす関数は指数関数しかないことを証明できます。これは有理数ではできない。連続性を使わずにはいられないと思いますよ。