数学英語 "for any" v.s. "for all"

Tomoki UDA @t_uda

ふと思い出したので，こないだ院生室で議論になった話題を紹介しようと思います（他の人がどう考えているのかも気になるので）．なんの議論かというと，「for any と for all はどう違うのか」についてです．

Tomoki UDA @t_uda

事の発端は某氏が「for all の意味が分からない，for any なら分かる」というレビューコメントをネイティブからつけられたことなんですが，みなさん数学英語において “for any” と “for all” は使い分けていますか？

Tomoki UDA @t_uda

私の考えを端的にいうと，「自然言語的なニュアンスの違いならともかく，数学英語でそんなことを気にしても意味がない（数学的な主張として意味が通らないというのはあり得ない）」なんですが，意外と反論を受けました．

Tomoki UDA @t_uda

さて，皆さんはどちらでしょう？私の意見をもっとつめて紹介してもいいんですが，他の人の意見がもっと聞きたい気分ですね．

Kojima @t33f

for any は可能無限に対する量化で for all は実無限に対する量化だ、みたいなことをだれか（たぶんまともな人）が言ってた記憶がある

Tomoki UDA @t_uda

@t33f 同意します．私も気分的にはよくそう使い分けています．

Kojima @t33f

@t_uda そうでしたか、ぼくはあまり意識的に使い分けてないのですが、そう言われればそうだなあと思った記憶があります。

Kojima @t33f

for every と for each と for an arbitrary あたりも含めて使い分けがたまに気になる

Tomoki UDA @t_uda

@t33f ちなみにあと，じゃぁ for each はどうなんだ，という問題もあります．

Tomoki UDA @t_uda

（先を越されていた．）

はっちょう @noctivox

@t_uda 単なる思いつきなのですが、ω矛盾した体系では両者が一致しないこともあるのかなと

Tomoki UDA @t_uda

@noctivox なんとなく分かる… ような…… 一挙に証明できることと各個証明できることの違いですよね．

はっちょう @noctivox

@t_uda はい、しっかり考えてないので実際のところは判りませんが

schelle_ @schelle_31

@t_uda 任意のとすべてのですか？

Tomoki UDA @t_uda

@schelle_0031 完璧には一致しないかもしれませんが，日本語での「任意の」「すべての」の違いに対応してはいそうですね．

Tomoki UDA @t_uda

for any v.s. for all の私の考えの補足というか「違う派」の考え方に対する推測ですが，おそらく any は自由項（自由変数，あるいはそのような何か）の導入に使うもので，一方の all は全称命題を主張するためのものである，と推測しています．

Tomoki UDA @t_uda

ただ私の考えとしては，どちらも for をつけた時点で形式証明でいうところの ∀intro を終えてしまっていると思っていて，そうすると全称命題として主張するところは同じだと思うんですよね．ニュアンス的には any のほうが各個撃破感がでるんだろうというのは納得はしますが．

Tomoki UDA @t_uda

さっき某氏がつぶやいてた例も，たぶん英語にすると zero plus any x is x と zero plus all x is x で後者はなんか量化を一段飛ばしてる感じがしますよね．その延長で for any と for all も使い分けているんだろうな，と思います．

TGIF @schelle__3

@t_uda plusだとanyならひとつですがallだと確かにいくつ足したいのかわからず圧倒的に意味不明

Tomoki UDA @t_uda

@schelle_0015 ですです．ただそれを変形して zero plus x is x for {any, all} x にすると「どっちでもええやん」と私には思えてしまって，単純な言い換えなのに意外と意味が違っていてびっくりします．