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グレブナー基底大好きbot @groebner_basis
【グレブナー基底の定義①】 早速、グレブナー基底を定義していくぶなっ! その前にまず、次の問題を考えるぶな! 『多項式 x^4+1 は、イデアル <x^2+1> の元であるか?』 考えたぶなか?答えは次のツイートぶなっ! ちなみに、一変数多項式環K[x]で考えてるぶなっ!
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【グレブナー基底の定義②】 x^4+1をx^2+1で割ってみるぶなっ! x^4+1=(x^2-1)(x^2+1) + 2 になったぶなね?商としてx^2-1が余りとして 2 が出たぶな。2は明らかに<x^2+1>の元ではないから、x^4+1も <x^2+1>の元ではないぶなな
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【グレブナー基底の定義③】 実際、x^4+1 が<x^2+1>の元だとすると、イデアルの定義から、2=x^4+1-(x^2-1)(x^2+1) も<x^2+1>の元となり矛盾するぶなな。 ここで、大事なのは余りが「一意的」に出てきて、その余りで、イデアルの元か判断できたことぶな
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【グレブナー基底の定義④】 他に、x^4-1をx^2+1で割ったときは、x^4-1=(x^2-1)(x^2+1) + 0となり、余りが0の時は、イデアルの元だとわかるぶな。 まとめると、 余りが0である ⇔ イデアルの元である ことが言えるんだぶな。
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【グレブナー基底の定義⑤】 この当たり前のようなことが実は、多変数では成り立たないんだぶな。 次の問題を考えるぶな。 『多項式、xy-y^2 はイデアル<x+y,x-y>の元であるか?』 今度は2変数多項式環K[x,y]で考えてるぶな。 答えは次のツイートぶなっ!
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【グレブナー基底の定義⑥】 同じように、xy-y^2をx+yとx-yで割ってみるぶな。 xy-y^2 = y*(x+y) + 0*(x-y) + (-2y^2) ここで*は掛け算を表してるぶな。余りとして(-2y^2)が出てきているぶな。(-2y^2はx+yでは割れないぶ)
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【グレブナー基底の定義⑦】 では、イデアルの元ではないかというと、実は違うぶな。 今度は、割る「順番」を変えてみるブナ。 xy-y^2=y*(x-y)+0*(x+y)+0 まず、x-yで割ってみると、いきなり割りきれたぶなっ!つまり余りは0で、xy-y^2はイデアルの元ぶな!
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【グレブナー基底の定義⑧】 以上の計算から、多変数多項式環では、余りが「一意的でない」ことが分かり、イデアルの入っているかどうかを単純に「余り」で判断することができないことが分かったぶな でもあきらめぬ そこでぶなっしーは、イデアルの基底の表現が色々あることに着目したぶなっ!
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【グレブナー基底の定義⑨】 『記号の説明⑤』でもみたように、あるイデアルの基底の表現にはいろいろあるぶな。そこで、<x+y,x-y>=<x,y> ぶなから(確かめるぶなっ)イデアルI=<x+y,x-y>の基底として、{x,y}を取り直すぶなっ!
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【グレブナー基底の定義⑩】 すると、xy+y^2を{x,y},{y,x}のどちらの順番で割っても、 xy+y^2=y*x+y*y+0 xy+y^2=(x+y)*y+0*x+0 となり、どちらも余りが0となり、余りが「一意的になったぶなっ!」
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【グレブナー基底の定義⑪】 実は、他の多項式を{x,y}で割っても順番関わらず、余りが一意的になるぶなっ! このように、余りが一意的になるようなイデアルIの基底のことを 『グレブナー基底』 と呼ぶぶなっ!
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【今日のまとめ】 グレブナー基底とは、 『余りが一意的になるイデアルの基底』 のことぶなっ!!!
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もちろん、他にも同値なグレブナー基底の定義があるぶなっ!今回は、なるべく短く定義できるようなものを採用したぶなっ!でも、もっとしっかりと考えていくには次のようなことを考える必要があるぶな。 ・割り算とは何か? ・グレブナー基底は存在するのか? ・どうやって求めるのか?

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