#math_cafe 局面のMorse理論。 Cell 複体のhomology。 →次回persistent homology
2015-09-27 15:53:33代数トポロジー でGoogle入力すると、「代数トポロジーの光」が1番に出てきた #math_cafe
2015-09-27 15:54:36#math_cafe 臨界点:一変数関数に対しある点で微分して0となる点を臨界点という。 二次微分が0でない:非退化 二次微分が0:退化
2015-09-27 15:55:08数学カフェ、本日二つ目のセッションは、「代数トポロジー入門」 話者は、NTTデータ数理システムの清水さんです。 #math_cafe 来月の数学カフェでやる予定の“Persistent homology”のために必要な前段のお話しをしてくださるそうです。これは来月も参加しないと!
2015-09-27 15:56:38#math_cafe ニ変数関数の場合(今日はこれ) 曲面を考える上で基本。 に変数関数の場合の臨界点・退化の定義を確認。 キーワード:Hesse行列 fの臨界点が非退化とはHesse行列が正則。
2015-09-27 15:57:16#math_cafe ex1) f(x, y) = x^2+y^2 臨界点で最小値を持つ。 ex2) f(x, y) = x^2-y^2 非退化。 ex3) f(x, y) = -x^2-y^2 臨界点で最大値。 ex4) f(x, y) = xy (0,0)非退化特異点
2015-09-27 15:59:21#math_cafe Mourse Lemma p0をfの額か臨界点とするとき、p0の周りの座標系をうまく取ることで、 f はex1-3)+cの形で記述できる。
2015-09-27 16:00:25#math_cafe def 額か臨界点の指数= 先の局所座標表示によるマイナス係数の個数。 ex1: 0 ex2: 1 ex3: 2
2015-09-27 16:01:09#math_cafe def 非退化臨界点の指数= 先の局所座標表示によるマイナス係数の個数。 ex1: 0 ex2: 1 ex3: 2
2015-09-27 16:01:20#math_cafe Morse lem証明 1. 平行移動+定数を加えて臨界点を原点に 2. 多変数微積分から得られる公式を使う。 f(0,0) = 0 -> ∃g,h st. f(x,y) = xg(x,y)+yh(x,y) g, hに上の公式当ててfのHesse行列生成
2015-09-27 16:03:51#math_cafe Morse lem証明続 xに関して平方完成。 非退化とHesse行列の計算からyの係数ノン0。 fの係数の符号に応じてex1-3と書けることが示せる。■
2015-09-27 16:06:40#math_cafe 曲面上の臨界点・退化性は局所座標で考える。局所座標の取り方に依らない。 def:morse関数。 f:M->Rがmorse関数とは全ての臨界点が非退化。 lem 閉曲面上のM関数の臨界点は高々有限 recall: Mがコンパクトだからfは最大値最小値を持つ
2015-09-27 16:11:07#math_cafe ex) S^2 = {(x,y,z)∈R^3|x^2+y^2+z^2=1} 上の高さ関数h(x,y,z)=z Lag未定乗数法から臨界点は(0,0,±1) 臨界点周りの座標系を標準の(x,y)で入れると hはM関数。疲れてきた。。。
2015-09-27 16:14:02#math_cafe 補足。Thm 閉曲面M上に臨界点が2つだけのM関数が存在->Mは曲面と微分同相。 ※同相は任意の次元で成立するが、7次元以上では微分同相とは限らない。
2015-09-27 16:15:54#math_cafe 【曲面のハンドル分解】 以下、曲面は連結とする。 def:M->R閉曲面上のM関数に対し、 Mt:= {p∈<|F(p)≦t} Lt:= {p∈<|F(p)=t} きゃーロスト。 M関数は閉曲面に対する高さ関数みたいに思える。 これがプロです。
2015-09-27 16:18:12