2015年10月4日

【自分用まとめ】モデル理論に関する雑感とそれに続く議論

原子心母さん(@atomotheart)とのやり取りが主です。
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参考までにこちらもどうぞ

まとめ 【自分用まとめ】数学とロジック 私なりの持論です。 5123 pv 5

Eureka GAP @j_tGAP

まあ集合論に関してはプロの方が結構宣伝している気がするんだけどモデル理論の情報過疎の方が酷いと思う

2015-09-30 22:10:40
ぴあのん @piano2683

モデル理論の宣伝をしようと思ったときに入門書の時点で洋書しかないというのは意外と障壁になっているのかもしれない

2015-10-02 00:45:39
ぴあのん @piano2683

ベクトル空間の次元論と(代数閉体の)超越次数の理論がモデル理論では統一的に取り扱えるとか、o-minimalのディオファントス幾何への応用みたいに、モデル理論における特定のいいクラスについては面白い話題がある。

2015-10-02 00:58:32
ぴあのん @piano2683

一方で、(私の勉強が浅いだけかもしれないけど)stability theoryは「よく知られた現象を統一的に捉える」という意味での美しさはあまり感じられない。 あくまで代数的な独立性や次元概念の抽象論であって、統一理論という色合いが少ない。

2015-10-02 01:03:48
ぴあのん @piano2683

モデル理論的な視点から見た理論の分類は「どのくらいの種類の構造が存在するか」に着目していて、例えば“幾何的にうまく振る舞う”ような代数系(代数閉体・実閉体・p進数体)を統一的に取り扱える枠組みをつくるみたいな方向性はあまりない。

2015-10-02 01:13:30
ぴあのん @piano2683

モデル理論による一階理論の分類についてはこちらのサイトが参考になります。 forkinganddividing.com

2015-10-02 01:14:33
ぴあのん @piano2683

おそらくdp-minimalのクラスは“幾何的にうまく振る舞う”クラスの候補となりえそう。実際、tame geometryとしていい振る舞いをすることが最近証明されたようだ。 arxiv.org/abs/1509.08484

2015-10-02 01:22:16
ぴあのん @piano2683

で、元の話に戻ると、モデル理論は圏論や集合論みたいに手軽な和書があるわけでも、数学の一般論としてのメリットの説明しやすさがあるわけでもないから、結局は元からロジック/代数幾何/超準解析などに興味をもっている人以外にはなかなか宣伝しづらいように思う。

2015-10-02 01:38:28
ぴあのん @piano2683

だからといって「モデル理論に興味を持ってくれる人を増やすにはどうすればいいか?」について、特にいいアイディアがないので困ったものです。 数少ないTwitterモデル理論クラスタのみなさんから意見がほしいところです。

2015-10-02 01:47:33
ぴあのん @piano2683

とりあえず連ツイはここまで。以下、余談です。

2015-10-02 01:49:57
ぴあのん @piano2683

私は最近もっぱら圏論しかやってないんですが、元のモチベーションは“モデル理論の代数幾何化”にあります。 モデル理論のスキーム論ができないかなーと思っていたところ、それっぽい先行研究でclassifying toposを使っていました。

2015-10-02 02:02:47
ぴあのん @piano2683

classifying toposは代数幾何で言うところのZariski toposやetale toposのような立ち位置ですので、 「toposは代数的対象と幾何的対象をつなぐもの」という視点を推し進めればモデル理論を幾何学的に捉えることが可能になるのではと予想しています。

2015-10-02 02:04:44
ぴあのん @piano2683

先ほどの話の中でも(dp-minimalに言及したときに)“幾何的にうまく振る舞う”モデル理論があったらいいなという旨のことを言いました。目下、こういう方向の研究がしていければと思っています。

2015-10-02 02:10:34
ぴあのん @piano2683

ちなみにclassifying toposはSGLではsyntacticalに構成されていますが、“Tのモデル全体の空間”を使うようなsemanticalな構成も知られているので、このようなrepresentationからモデル理論的な情報が引き出せたら面白いなと思っています。

2015-10-02 02:13:13
ぴあのん @piano2683

以上、モデル理論についての自分の考えでした。

2015-10-02 02:14:23
水槽ゼリー @Jelly_in_a_tank

@piano2683 ぴあのんさんが日本語で本を書けば良いのでは

2015-10-02 21:49:51
ぴあのん @piano2683

@Pappus_Mugyutan @jelly_in_a_tank ぴあのんさんが知ってる程度のことだったら日本語でも記事があるので… 問題なのは応用上魅力的なテーマが特定の良いクラスにしか(私の知る範囲では)なくて、抽象論としての美しさが足りないので宣伝しづらいという点です。

2015-10-02 21:53:22
水槽ゼリー @Jelly_in_a_tank

@piano2683 @Pappus_Mugyutan その足りないと感じている部分をぴあのんさんが構成してですね

2015-10-02 21:54:29
ぱっぷす=むぎゅたん @Pappus_Mugyutan

@piano2683 @jelly_in_a_tank その抽象論というか数学の統一みたいなことがわかる日本語の文献はありますか?

2015-10-02 21:54:33
ぴあのん @piano2683

@Pappus_Mugyutan それはモデル理論的な視点から?現象の統一としては、Morleyの範疇性定理は主張はわかりやすくかつ衝撃的です。 www2.kobe-u.ac.jp/~kikyo/LogicSu…

2015-10-02 22:01:03
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コメント

大王 @dual__co 2015年10月6日
私が哲学として興味を持っていたところが,ちゃんと数学で研究されているようなので,安心した(謎
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