エルデス・シュトラウス予想を解こうの会

エルデス・シュトラウス予想とは 2以上の任意の正整数Nに対し、 X,Y,Z:正整数として、4/N=1/X+1/Y+1/Zをみたす(X,Y,Z)の組が存在する。 という予想。これを肯定的に証明してみたいと思っています。現在、Nが24n+1型素数以外の場合なら必ず存在することが判明しており、示すべき残りはNが24n+1型素数の場合のみです。(参考:http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/number/erdos.htm
数学
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きっかけ

前回のプログラミング!コラッツ・角谷予想にもプリクラ問題にも詰まっていた私。なんとこれらの問題を放って別の問題を考え始めた!自作RubyコードをPythonに移植しながら、数学の未解決問題をブラウジングしていたが――。

まる @ps_maru
3次元の接吻数が12だというの、250年くらいも証明できなかったとは……。
まる @ps_maru
4次元座標を脳内でイメージすることができない
まる @ps_maru
エルデス・シュトラウス予想を考えてるけど、多項式の雰囲気からして否定的に示せる可能性がわりとありそうな気がしてきた……(ここでガロア理論を修得していないことを思い出す)
進展

コードを書いてエルデス・シュトラウス予想が成り立つ比較的小さい値の組を調べまくりました。

まる @ps_maru
エルデス・シュトラウス予想の解の全探索を行うためのPython3.4コードを書きました。Nが24n+1型の素数のときのみ調べればいいのですが、1つのNに対する解はなかなか多いですね。参考:www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/number… pic.twitter.com/gCK8QVn5pG
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リンク www004.upp.so-net.ne.jp 単位分数の和
寄り道

Thue-Morse問題を簡略に証明するなどした。

らの @Rinlan
{0,1}からなる無限列で、任意の正整数nに対し「どの連続する3n項をとっても、その先頭からn項と真ん中のn項と末尾のn項が全て等しいということはない」というものは存在するか
らの @Rinlan
それらしき例を発見したが証明が書けない twitter.com/Rinlan/status/…
らの @Rinlan
a_0=1として、n=0,1,2...に対して、2^n+1<=m<=2^(n+1)なるmについてa_mを、a_(m-2^n)が1ならば0,0ならば1と順次定める twitter.com/Rinlan/status/…
まる @ps_maru
@Rinlan 並びがaaaabbbbcccc(a,b,cは0か1)みたいな部分がどこにもないということでしょうか…?
らの @Rinlan
@ps_maru いえ、011001100110みたいな3連続の繰り返しがないという意味です
まる @ps_maru
その数列ならたぶん帰納法でいけるような気もする 1 0 01 0110 01101001 0110100110010110…みたいな感じだと、n群目まではOKでn+1群目を追加すると、n+1群目はn群までの反転なのでなく、またぐ場合は鏡か反転接着だが、……あれ?うーん(><)
まる @ps_maru
群はkを使う。n≧3で考えてよい。連続する3n個を取るとき、0と1の個数差はnが奇数なら±1個、nが偶数なら0,±2個。条件を満たすなら差は3の倍数よりnが偶数かつ差が0個。よってnは4以上の偶数で、群の前後で各偶数個ずつ取って3n個取る。
まる @ps_maru
各偶数個取るなら、10,01をそれぞれまとめて1,0と呼ぶよう数列を言い換えてもよく、これはk群までの話になり成り立つので、元に戻してk+1群を追加したときもOKということになる。
まる @ps_maru
n=1,2はOK。n≧3のとき。1 0 01 0110 01101001 …とk群に分ける。k=1はOK。kまではOKで次の群を増やすと、k+1群目はk群までの反転なのでOK、またぐ場合。連続する3n個を取ると、0と1の個数差は3の倍数のはずだが、
まる @ps_maru
n:奇なら±1、n:偶なら0,±2より、n:偶かつ差0。よってnは4以上の偶数で、群の前後で各偶数個ずつ取る。このとき10,01をそれぞれまとめて1,0と呼ぶよう数列を言い換えてもよく、これはk群までの話に相当しOK。よって帰納法でOK。
まる @ps_maru
@Rinlan いろいろ怪しいところすっ飛ばしてるので細かい穴埋めは必要ですが、かなり使えそうな考え方を導入した気はします
まる @ps_maru
同じ形のテトリスで埋められない問題のときにステージに市松模様をつくってやるのにすごい似ていたのでもうそれを使うしかないなってなってごり押した。これでだめだとしたらもうわからないしめっちゃやばいレベルなのか未解決問題な感じはする(てきとう)
なれ @nareO7
@ps_maru 先ほどRTしてた数列は、Thue-Morse数列とよばれており、それが三回繰り返すものはないというのはかなり前から証明されていると思います
まる @ps_maru
@Rinlan これ有名な数列らしいとの情報が(Thue-Morse数列というのと同じ話になるみたいです)。これ以外に解があるかは不明ですが……。
なれ @nareO7
@ps_maru 知っている人は知ってるくらいの問題だと思います。手元にある本によれば、1964年くらいには示されてたみたいです。
まる @ps_maru
エルデス予想のやつ、時間がなくて計算結果の分析が出来ずにいる
進展

エルデス・シュトラウス予想で示されていないN=24n+1型素数の場合のうち、とりあえず
X≦Y≦ZかつY,ZがNの倍数
のものに目星をつけて、
4/N=1/X+2/NA+2/NBとおけるとして同値変形をしていくと、
「N=24n+1(nは自然数)として、49t^2-4(6n+2)tが平方数になるような自然数tが存在する」を示せばよいことになる。

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