S多項式って?

グレブナー基底の計算でとても重要な、S多項式を定義したぶなっ!
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グレブナー基底大好きbot @groebner_basis

【S多項式って?①】 まずは、次の問題を考えるぶなっ! 問題「2つの多項式、f=xy-1 と g=y^2+x がある。このとき、f と gの先頭項を同じにするには、それぞれどんな単項式をかければいいか?ただし、次数付辞書式順序x>yで並んでいるとする。」 答えは、CMの後で!

2015-10-26 20:42:21
グレブナー基底大好きbot @groebner_basis

【S多項式って?②】 答えの前に、今日のぜんてーちしきを おさらいぶなっ! 先頭項LT bit.ly/1KZEhPP 単項式順序 bit.ly/1KZEhPP を知っているとわかりやすいぶなよっ!

2015-10-26 20:49:59
グレブナー基底大好きbot @groebner_basis

【S多項式って?③】 答えぶなっ! f=xy-1とg=y^2+xの先頭項は LT(f)=xy, LT(g)=y^2 ぶな! そして、fに yを、gに xをかけるぶな! すると、 y*f=x*y^2-y, x*g=x*y^2+x^2 となり、先頭項がどちらもx*y^2になるぶな!

2015-10-26 20:56:12
グレブナー基底大好きbot @groebner_basis

【S多項式って?④】 ここで、 y*f - x*g を計算してみるぶな!先頭項が同じなので、打ち消しあって、 y*f - x*g= -x^2-y となり、新しい先頭項 -x^2 が生まれてるぶなっ! このように、二つの多項式の先頭項を揃えて、新しい先頭項を作るのがS多項式ぶなっ!

2015-10-26 21:01:19
グレブナー基底大好きbot @groebner_basis

【S多項式って?⑤】 では、厳密にS多項式を定義していくぶなっ! まず、f,g をK[x_1,…,x_n]の多項式として、 LM(f)=x^a LM(g)=x^b とするぶなっ! ここで、a=(a_1,…,a_n)であり、 x^a=x_1^a_1*…*x_n^a_n ぶなよっ!

2015-10-26 21:05:55
グレブナー基底大好きbot @groebner_basis

【S多項式って?⑥】 bも同様にb=(b_1,…,b_n)になっているぶなよ! (ここで、各a_i,b_iは非負整数ぶな) このa,bを使って新たにd=(d_1,…,d_n)を次にように作るぶなっ! d_i:=max{a_i,b_i} つまりa_iとb_iの大きい方がd_iぶ

2015-10-26 21:10:32
グレブナー基底大好きbot @groebner_basis

【S多項式って?⑦】 このx^d=x_1^d_1*…*x_n^d_n のことを、x^aとx^bの最小公倍元と呼ばれるぶな! 確かに、x^dは、x^a,x^bのそれぞれの倍元(倍数)で最小のものになっているぶなね! 実は、最初の問題では、この最小公倍元x^dを求めていたぶなっ!

2015-10-26 21:15:20
グレブナー基底大好きbot @groebner_basis

【S多項式って?⑧】 それでは、S多項式を定義するぶなっ! 【定義】 f,gの先頭単項式をそれぞれx^a,x^bとし、それらの最小公倍元をx^dとする。 このとき、f,gのS多項式を、 S(f,g):=(x^d/LT(f))*f - (x^d/LT(g))*g と定義する。

2015-10-26 21:20:15
グレブナー基底大好きbot @groebner_basis

【S多項式って?⑨】 (x^d/LT(f))*fと(x^d/LT(g))*gの先頭項は、同じx^dになってることに注目ぶな! (x^dは最小公倍元だからぶな) よって、S(f,g):=(x^d/LT(f))*f - (x^d/LT(g))*g では、先頭項が打ち消しあってるぶな!

2015-10-26 21:24:45
グレブナー基底大好きbot @groebner_basis

【S多項式って?⑩】 具体例ぶな。 f=xy-1, g=y^2+x とすると、 LM(f)=xy, LM(g)=y^2 ぶなから、a=(1,1),b=(0,2) ぶなっ!よって、各項の大きい方を選んでd_iとすると、 d=(1,2)になるぶなっ! つまり、X^d=x*y^2ぶな!

2015-10-26 21:28:28
グレブナー基底大好きbot @groebner_basis

【S多項式って?⑪】 したがって、 S(f,g) =(x^d/LT(f))*f - (x^d/LT(g))*g =(x*y^2/xy)*(xy-1)-(x*y^2/y^2)*(y^2+x) =y*(xy-1)-x*(y^2+x) =-x^2-y で、最初やった計算結果と同じぶな!

2015-10-26 21:32:07
グレブナー基底大好きbot @groebner_basis

【S多項式って?⑫】 さっきもいったように、二つの多項式から、新しい先頭項の多項式を作る操作ぶなっ!実は、すべての先頭項の打ち消し合いは、S多項式の線形結合で書けることが知られているぶな!さらに、グレブナー基底とは「打ち消し合いで新しい先頭項が生まれない状態」を意味しているぶな!

2015-10-26 21:37:41
グレブナー基底大好きbot @groebner_basis

【S多項式って?⑬】 これらのことは、今週の水曜日と金曜日のぶなついで詳しくみていくぶなよ! ちなみに、S多項式のSは、天文学において3個の惑星や他の天体が一直線に並ぶことを意味する Syzygy(シチギー、シジジー) に由来しているぶなっ!同じ先頭項が一直線に並んでいるぶなね!

2015-10-26 21:45:49
グレブナー基底大好きbot @groebner_basis

【今日のまとめ】 「S多項式は、先頭項を打ち消して、新しい先頭項を作るにぃっ!」 ぶなっ! ぶなっしーもエスパー使いたいけん!

2015-10-26 21:52:08
グレブナー基底大好きbot @groebner_basis

今日の参考文献は、「グレブナー基底と代数多様体入門」ぶなっよ! togetter.com/li/877168

2015-10-26 21:54:20