2015年11月14日

とりとめもない掛け算の順序の話

掛け算の順序の問題で以前から思っていた所を徒然と。
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angel (as ㌵㌤の猫) @angel_p_57

いい加減書く書く詐欺なので、とりとめもなく垂れ流してみるか。( 掛け算の順序問題 )

2015-11-14 10:43:44
angel (as ㌵㌤の猫) @angel_p_57

@angel_p_57 まず、掛け算の順序を固定した教え方は trivial にナンセンス。「習慣」以上の根拠はない。ここは「議論の余地はない」で良いところ ( ここでグダグダやると発散するしねえ… )

2015-11-14 10:46:06
angel (as ㌵㌤の猫) @angel_p_57

@angel_p_57 ただ、「先生」というものがいかにいい加減なものかを知るためのベンチマークとしては良いかもね、と、自分の経験と照らし合わせてみる。いやただ、そんな偏屈な子供ばかりではないだろうから、この点はちょっと置いておくとして。

2015-11-14 10:47:58
angel (as ㌵㌤の猫) @angel_p_57

@angel_p_57 閑話休題。ただし、その「ナンセンスさ」を説明できていない ( 突っ込みどころがある ) 人は多そうな印象。書きたかったのはむしろそっち。

2015-11-14 10:50:42
angel (as ㌵㌤の猫) @angel_p_57

@angel_p_57 「どこか」というと、大抵の人は「単位あたりの量が何単位あるか」( ex.一箱に12本入ってる鉛筆の箱が5箱なら60本 ) を掛け算の基本にしちゃう。そこがそもそもの間違い。

2015-11-14 10:53:45
angel (as ㌵㌤の猫) @angel_p_57

@angel_p_57 「間違い」というと語弊があるかも。「誤りではない、しかし正解ではない」かなあ ( 恩師の口癖 )。あくまで掛け算の持つ一側面であって、もちろん有用ではあるんだけど、そこが基本ではないということ。

2015-11-14 10:55:48
angel (as ㌵㌤の猫) @angel_p_57

@angel_p_57 その「間違い」がどうまずいのかというと、「単位あたりの量」と「単位数」という数の役割の区別を与えてしまう所。役割が違うのなら、そこに順序を設けることは正当化されるのだから。

2015-11-14 10:59:30
angel (as ㌵㌤の猫) @angel_p_57

@angel_p_57 すなわち、「掛け算を『単位あたりの量が何単位あるか』でとらえる」のと、「掛け算の順序固定を否定する」のは自己矛盾。…いや、多分頭の中では理解しているのだろうけど、それなりの人が。説得力を持つ反論にそもそもならない。

2015-11-14 11:02:37
angel (as ㌵㌤の猫) @angel_p_57

@angel_p_57 えーと、これは「間違っているとなにがまずいのか」の話。じゃあ「なぜ間違っているのか」はどうなんだ、という話になるんだけど、これが実は難しい。

2015-11-14 11:05:59
angel (as ㌵㌤の猫) @angel_p_57

@angel_p_57 なぜかというと、今現在、多くの人には「間違っていない」から。例えば天動説が正しいと思っている人は今いないだろうけど、あれもそんなトンデモな話でもなくて、既知の星の動きの説明にはある程度たえる代物だったという ( 当時 )。

2015-11-14 11:09:39
angel (as ㌵㌤の猫) @angel_p_57

@angel_p_57 だから「間違い」というよりは、「もっと素直で整合性の高い説明ができる」という方が正しい、かな。

2015-11-14 11:12:27
angel (as ㌵㌤の猫) @angel_p_57

@angel_p_57 じゃあ掛け算って何か? これは足し算との比較での説明になるんだけど、足し算が「同じ方向へ積み上がる ( 伸びる ) 量を扱うもの」だとすると、掛け算は「異なる方向へ広がる量を扱うもの」、いや、公にこういう説明があるのかどうかは知らないけど。

2015-11-14 11:16:57
angel (as ㌵㌤の猫) @angel_p_57

@angel_p_57 ここで数直線っぽい図と、面積図っぽいものがあると良いんだけどね!! で、「同じ方向」なのだから、足し算は「同じ単位」のもの同士でしかできないし、「異なる方向」なのだから、掛け算で「異なる単位」の組み合わせになるのはある意味当然。

2015-11-14 11:19:19
angel (as ㌵㌤の猫) @angel_p_57

@angel_p_57 例えば (速さ, 時間)→(距離) とか言ったら、3種類とも全部違う。で、ここで (本数, 箱の数)→(本数) のような ( 12本×5箱=60本 )、たまたま2種類が一致することを以て順番を定めるのは…。まあナンセンスだよね、と。

2015-11-14 11:23:15
angel (as ㌵㌤の猫) @angel_p_57

@angel_p_57 長方形の縦横の区別に意味がないのと同様、掛け合わせる数に順序を設けるのには意味がない。見出すことができない。あくまで大事なのは組み合わせを把握すること。だって、足し合わせる数同士、結果含めて全部同じ単位になる足し算とは違うから。

2015-11-14 11:25:58
angel (as ㌵㌤の猫) @angel_p_57

@angel_p_57 さて。じゃあ「単位あたりの量が何単位あるか」これって何なの? という所が気になるんだけど…。何だろうね、コレ。自分も学校ではそう習ったわけだけど。

2015-11-14 11:30:12
angel (as ㌵㌤の猫) @angel_p_57

@angel_p_57 思うところとしては2つ。1つは、実用上 (本数)×(箱)→(本数) のように、2種類の単位が一致するケースが多いから、そういう考え方で困らなかったって所。もう1つは、足し算→掛け算に移る時に都合が良かったって所。

2015-11-14 11:33:09
angel (as ㌵㌤の猫) @angel_p_57

@angel_p_57 前者については別に困ってないならそれでもいいかも、とは思うのだけど、小学校範囲である「速さ」だったり、小数・分数の時点で既についていけない人が多いことを考えると、「困ってない」とは言えないんじゃないかな…。義務教育の範囲だし。

2015-11-14 11:36:00
angel (as ㌵㌤の猫) @angel_p_57

@angel_p_57 あ。「単位あたりの量が何単位」って考えると、1未満の正数の掛け算で小さい値が出てくるの、直感的に分かりにくいけど、「別々の方向に伸び縮み」と捉えれば、別に悩むところでもなんでもないんだよね。「困ってる」ってのはそういうのもあるところ。

2015-11-14 11:39:10
angel (as ㌵㌤の猫) @angel_p_57

@angel_p_57 で、後者「足し算→掛け算」だけど…。そりゃまあ、九九を暗記だけでやるより、「6×4は、6を4回足したものだよ」とか、既知の計算で説明した方がやりやすいよね、という話。

2015-11-14 11:40:59
angel (as ㌵㌤の猫) @angel_p_57

@angel_p_57 だけどまあ。九九を身に着けてしまえば、2桁以上の掛け算で「XXをYY回足す」なんてフツーはやってられないことだし、「足し算→掛け算」の話は捨ててしまった方が幸せになれそうじゃないかな…。( 分配法則を使えば済む話 )

2015-11-14 11:43:53
angel (as ㌵㌤の猫) @angel_p_57

@angel_p_57 とりとめなかったけどこんなとこかな。

2015-11-14 11:46:47
angel (as ㌵㌤の猫) @angel_p_57

@angel_p_57 あ。そうそう。掛け算の順序固定に肯定的な人のセリフの中で、「算数と数学は違う」とか「それは理科 ( 物理 ) の問題だ」とか見かけることがあるんだけど。…なんで区別したがるかね? とは。みんなまとめて同じ話にできれば、そっちの方がマトモじゃね? と。

2015-11-14 11:48:41
angel (as ㌵㌤の猫) @angel_p_57

@angel_p_57 まあここらへんは、専門家が専門家たることに固執するのと、根が同じなのかなあと思う所。( 今朝の話につながった )

2015-11-14 11:49:54
angel (as ㌵㌤の猫) @angel_p_57

@angel_p_57 あとは関連する話として割り算にも触れとくか…? 割り算には、「包含除」「等分除」という2種類があるそうですよ、奥さん。具体的には、60本÷12本=5箱 が前者、60本÷5箱=12本 が後者、らしい。

2015-11-14 11:53:37
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