「確率変数」の定義に関するおはなし

まつけん @Kenmatsu4

「確率変数」の定義って難しいな。わかっていたつもりだったけど、改めて幾つか本をめくってみると、集合を引数に取る関数と説明しているものもあり、だけどそれだと確率的な変動が表されてない気もして、モヤモヤしてきた。

oshokawa @oshokawa

@Kenmatsu4 「確率的な変動」っていうもの自体はただの解釈の問題かと。数学的には、集合から実数への写像以外の何者でもないというのが私の認識です。関数が確率的な振る舞いをしたら困りますし。

まつけん @Kenmatsu4

@oshokawa でも、「Xのように確率的に変動する変数を確率変数と呼ぶ」と書いてある教科書もあり、？？？となったんですよね。合っているかは別として自分は乱数を生成する関数(numpy.random.normal()とか)との類似性で理解していた部分があるのです。

oshokawa @oshokawa

@Kenmatsu4 乱数を発生させる関数もなんらかの入力(seed)に基づいて決定的に値が出力されるはずなので、変動するのは入力なんじゃないですかね？真面目に考えると難しいですね。

まつけん @Kenmatsu4

@oshokawa でもseedはコンピューターで擬似乱数を生成するためにたまたま必要なだけで、理想的な乱数を生成する関数があればseedは不要だと思うのです。ちょっとじっくり考えてみようと思います。良ければまた明日ディスカッションしましょう！

oshokawa @oshokawa

@Kenmatsu4 是非是非ー。私も可能な範囲で調べてみます！

テラモナギ @teramonagi

@Kenmatsu4 集合を引数に取る関数は間違いですよー例の本の誤植というか著者の誤解です。正しくは標本空間Ωの元をとる関数です

まつけん @Kenmatsu4

@teramonagi @oshokawa フォローありがとうございます！ということは、「確率変数」自体には確率的要素はなく、引数に集合の元を与えると、ある実数に確定的に対応している、ということなのでしょうか？（続く

まつけん @Kenmatsu4

@teramonagi @oshokawa 竹村先生の「現代数理統計学」には『確定的に変動する変数を確率変数と呼ぶ』とあり、関数であるとするとそこには変動はなく、引数に何を与えるか、の呼び出し元が変動するイメージです。プログラミング的なアナロジーがよくないのですかね(>_<)

まつけん @Kenmatsu4

@teramonagi @oshokawa 自分は、確率変数は対応した標本空間全体をカバーしていて、試行を行うと観測値が一つ確定するものイメージでした。x=X(ω)としてしまうと、X自体には変動要素がなく確定的な感じでモヤモヤするのですよね。ニワトリ卵的な…(´・д・｀)

まつけん @Kenmatsu4

『標本空間の中の根元事象に対して適当な数値を対応させた変数Xを考えて、その変数がどの数値を取るかは偶然に支配されるけれども、Xがある特定の数値xをとる確率、すなわちある根元事象の起こる確率が定まっているとき、Xを確率変数という』 「確率統計」薩摩順吉著

まつけん @Kenmatsu4

これは割としっくりくる。引数なしで呼び出す関数なのか？どの根元事象が選ばれるかは関数の中で偶然に支配されて決まる、という乱数的なイメージも包含されている感じ。

まつけん @Kenmatsu4

引数なしでX()と呼び出すけど、偶然に左右されつつ結果X=xとなる場合があって、それが実現する確率はP (X=x)で表す。今時点の自分の理解。

テラモナギ @teramonagi

@Kenmatsu4 >「確率変数」自体には確率的要素はなく、引数に集合の元を与えると、ある実数に確定的に対応している、ということなのでしょうか？

テラモナギ @teramonagi

@Kenmatsu4 >「確率変数」自体には確率的要素はなく、引数に集合の元を与えると、ある実数に確定的に対応している、ということなのでしょうか？　 でOKです！

テラモナギ @teramonagi

@Kenmatsu4 @oshokawa x=X(ω)は {ω∈Ω; X(ω)=x}の略ですね。なのでこれはΩの部分集合を表すための略記です。P(x=X(ω)) = P({ω∈Ω; X(ω)=x})ということです。なので確率測度はΩの部分集合を引数にとる関数です！

まつけん @Kenmatsu4

@teramonagi その場合、薩摩順吉先生の教科書にある『その変数がどの数値を取るかは偶然に支配される…」と合わない気がしているのです・・・。先ほどその辺りの一文をつぶやいてみました。

テラモナギ @teramonagi

@Kenmatsu4 先生の中で、確率変数と確率測度がごっちゃになられてるのかと。。。

まつけん @Kenmatsu4

@teramonagi なるほど。測度論は不勉強なもので、もう少し調べてみます。気になっているのは、「偶然性はどこに表されているのか」で、確率変数に包含されていると思っていましたが、違いそうということですね。p()で確率値が得られる、という以上の偶然性は表す必要がないのですかね。

まつけん @Kenmatsu4

@teramonagi アドバイスありがとうございます！考える材料になり、非常に助かります！自分の中で消化できるようにちょっと考えます( ˃̶᷇ ‧̫ ˂̶᷆ )

テラモナギ @teramonagi

@Kenmatsu4 >「偶然性はどこに表されているのか」で、確率変数に包含されていると思っていましたが、違いそうということですね。 です！確率変数はΩ→Rな関数、確率測度はΩの部分集合族→[0, 1]な関数です！

まつけん @Kenmatsu4

@teramonagi なんとなく見えてきた気がします(・∀・) 偶然性は[0, 1]で表されているだけで、それ以上にはないということですね。ソフト的な擬似乱数生成関数と確率変数を似たものと捉えていたことが誤解の原因かもしれません！

テラモナギ @teramonagi

@Kenmatsu4 私はそう考えています！（偶然性＝割り当てられる0~1の大きさ）です。Ωの部分集合族は正確にはσ加法族とよばれているもので、”ある条件を満たす部分集合の集合"ってかんじです！

oshokawa @oshokawa

@teramonagi @Kenmatsu4 んでもって、偶然性に左右されるのはωが生起するか否かであって、ωが決まればX(ω)によってある数値が決定的に定まるんじゃないですかね。関数内に偶然性が存在するっていうのは、数学的に違和感があります。Xは媒介変数みたいなものかと。

まつけん @Kenmatsu4

@teramonagi ありがとうございます！その観点で色々読み直していくと見えてきそうなので、確認してみます！