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必要条件、十分条件」の見極めは、数学では重要な場面であるとともに、センター試験では頻出です。
ここでは、「必要条件・十分条件」について一度まとめたうえで、練習問題を掲げておきました。

十分条件
りさき@はみ禁 @TomoK0827
【必要条件と十分条件①】 「ABであるための十分条である」とは、 ・「Bが成り立つためにはAという条件があれば十分だ」 ・「Aという条件さえあればBがなりたつ」 ということです。これらは、「AB」が成り立つことと同じことです。 pic.twitter.com/iDBaD6obQo
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りさき@はみ禁 @TomoK0827
【必要条件と十分条件②】 例えば、動物xについて、 「xが人類であることは、xが哺乳類であるための十分条件である」 が言えます。xが人類であるという条件があればxが哺乳類であるということが(十分)成り立ちます
りさき@はみ禁 @TomoK0827
【必要条件と十分条件③】 また、整数nについて、 「nが6の倍数であることは、nが3の倍数であるための十分条件である」 が言えます。n=6k(kは整数)とおけば、n=3×(2k)となるので、「nが6の倍数」という条件あれば、「nが3の倍数」ということが(十分)成り立ちます
必要条件
りさき@はみ禁 @TomoK0827
【必要条件と十分条件④】 次に「ABであるための必要条件である」とは、 ・「AたされなければBが成り立たない」 ・「Bが成り立つにはAでなければならない」 ということです。これらは「BA」が成り立つことと同じことです。 pic.twitter.com/QoAnCsoCUt
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りさき@はみ禁 @TomoK0827
【必要条件と十分条件④補足】 ④の画像では「BA」を「AB」と書いています。
りさき@はみ禁 @TomoK0827
【必要条件と十分条件⑤】 例えば、動物xについて、 「xが魚類であることは、xがサンマであるための必要条件である」 が言えます。xが魚類でなければxはサンマではありえません。だから、xがサンマであるには、xが魚類であることが必要なわけです。
りさき@はみ禁 @TomoK0827
【必要条件と十分条件⑥】 また、整数nについて、 「nが5の倍数であることは、nが10の倍数であるための必要条件である」 が言えます。nが5の倍数でなければnは10の倍数になりません。つまり、nが10の倍数であるにはnが5の倍数でなければならないわけです。
りさき@はみ禁 @TomoK0827
【必要条件と十分条件⑦】 もちろん「nが5の倍数であることは、nが10の倍数であるための必要条件である」 をいうのに、「nが10の倍数であるときは、nが必ず5の倍数になる」とか、「nが10の倍数になるのは、nが5の倍数のときだ」といっても同じです。

↑最後のカギかっこ、正しくは「nが10の倍数になるのは、nが5の倍数のときだけだ」ですね。すみません。

図にすると…
りさき@はみ禁 @TomoK0827
【必要条件と十分条件A,Bをある条件として、 「AB」のとき「ABであるための十分条件」 「AB」のとき「ABであるための必要条件」になるのでした。 これを図にすると、画像のようになります。 pic.twitter.com/vr8wz6m2Hl
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りさき@はみ禁 @TomoK0827
【必要条件と十分条件⑧補足】 「は」「ための」の言葉が大事です。 ・「は」からでてくる矢印が成り立てば「十分条件」 ・「は」へやってくる矢印がなりたてば「必要条件」 です

いわゆる「十→要」ってやつです。

「A⇒B」のとき、
・「AであることはBであるための十分条件である
といいますが、これを、
・「BであるためにはAであることが十分である
ということがあります。後者の言い方の場合には、自分で「Bであるため」「Aであることが」を逆にして考える必要があります。

また、「A⇐B」(すなわち「B⇒A」)のときも、このことを
・「AであることはBであるための必要条件である
といいますが、これを、
・「BであるためにはAであることが必要である
ということがあります。やはり後者の言い方の場合には、「Bであるため」「Aであることが」を逆にして考えなければなりません。

りさき@はみ禁 @TomoK0827
【必要条件と十分条件⑨】 そして、「AB」と「AB」(「BA」)が成り立てば、 「ABであるための必要十分条件」だとか、 「AB(互いに)同値である」というわけです。
混乱する場合は
りさき@はみ禁 @TomoK0827
【必要条件と十分条件(全体補足)】 ①~⑥が分かりにくいという人は、最低⑧と⑧補足を覚えておきましょう。

⑧の図です。これさえあれば、少なくとも
○○であることは、△△であるための[ ]
の問題を、(あとは「○○⇒△△」や「△△⇒○○」の真偽を正しく判断できれば)正解することができます。

練習問題

さて、ひと通り解説が終わったので、練習問題でもいきましょうか。  
5問(ただし1問2題なので実質10題)出題します。

練習1
りさき@はみ禁 @TomoK0827
【必要条件と十分条件ー練習1】 [ ]に入るものを、画像の①~④から1つ選べ。 1)ある動物がカラスであることは、それが鳥類であるための[ ] 2)ある人が女性であることは、その人がAKB48メンバーであるための[ ] pic.twitter.com/dYBuVLtMlt
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練習2
りさき@はみ禁 @TomoK0827
【必要条件と十分条件ー練習2】 [ ]に入るものを、画像の①~④から1つ選べ。 1)小麦粉があることは、たこ焼きができるための[ ] 2)ある人が成人であることは、その人が20歳以上であるための[ ] pic.twitter.com/GcXOgAPAsV
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コメント

トゥギャッターまとめ編集部 @tg_editor 2015年12月4日
説明が丁寧で分かりやすいですね!センター前の今の季節、参考になる機会も増えるかもしれません。
りさき@はみ禁 @TomoK0827 2015年12月4日
tg_editor ありがとうございます! 特に「必要条件」「十分条件」は混乱しやすいところだと思います。少しでも数学学習の支えになればと思っています。
Mill=O=Wisp @millowisp 2015年12月4日
いまだにベン図描かないと分からないマン
節穴 @fsansn 2015年12月5日
「「PがQであるための十分条件であること」がPであるための十分条件であること」はPであるための[] ①必要条件ではあるが十分条件ではない ②十分条件ではあるが必要条件ではない ③必要十分条件である ④必要条件でも十分条件でもない
ふぉい @soama39 2015年12月5日
法律によっては、20歳の誕生日前日で「成年者」と扱うことがあるので2(2)は微妙。
Dcdcxr @Dcdcxr 2015年12月5日
必要十分条件について、日常的な事例をつかって例を示して欲しい。
KAMON @KAMON_Yammani 2015年12月5日
「矢印の先が必要」という覚え方がある。
みながわ あおい @Minagawa_Aoi 2015年12月5日
蛇足ですみませんが、タコの入っていないたこ焼きは実在します。「多幸焼」と当て字することもありますが。
🚮 @recyclebin5385 2015年12月5日
パンにウグイスが入っていることは、パンがうぐいすパンであることの[ ] ①必要条件ではあるが十分条件ではない ②十分条件ではあるが必要条件ではない ③必要十分条件である ④必要条件でも十分条件でもない
はらへった @higedanshaku 2015年12月5日
ベン図を使うと視覚的にわかりやすい
アルビレオ@炙りカルビ @albireo_B 2015年12月5日
soama39 民法では結婚していれば20歳未満でも成年扱いがけっこうありますね
りさき@はみ禁 @TomoK0827 2015年12月5日
主です。 ベン図ですが、迷った挙句上記一連のツイート群には載せませんでした。今後ベン図の解説ツイートを掲載するかもしれません。ありがとうございます。
りさき@はみ禁 @TomoK0827 2015年12月5日
soama39 albireo_B すみません…。その「民法では結婚していれば20歳未満でも成年扱い」とは、「結婚している20歳未満の人」を条件Xとして、(a)「民法においての成年が定義されていて、その定義の中に条件Xが含まれる」のか、(b)「民法において特別に成年が定義されておらず(もしくは定義されていても条件Xが含まれず)、しかし条件Xを満たす人に成年と同じ条項が適用される」のか、どちらなのでしょうか…?
りさき@はみ禁 @TomoK0827 2015年12月5日
soama39 albireo_B まあそもそも最初に「日本」か「世界」かによって答えが変わることに気付いていなかった時点で微妙なんですけどね…
りさき@はみ禁 @TomoK0827 2015年12月5日
Dcdcxr そうですね、「必要条件」「十分条件」の例を出してるのに「必要十分条件」の例がないのはおかしいでした。ありがとうございます。 ちなみに、変な例ですが、「ある人xが『ミヤネ屋』の司会をする男性であることは、xが宮根誠司であるための必要十分条件である」はどうでしょうか?
りさき@はみ禁 @TomoK0827 2015年12月6日
Minagawa_Aoi あるんですねぇ~! 知りませんでした。いやはや自分の知っている範囲だけでものをいってはなりませんね! ありがとうございます。
りさき@はみ禁 @TomoK0827 2015年12月6日
KAMON_Yammani 上の⑧や⑧補足に覚え方(やり方?)はありますが、割と覚えにくい項目だと思いますので、いろいろな覚え方があっていいと思います! ありがとうございます。
アルビレオ@炙りカルビ @albireo_B 2015年12月6日
TomoK0827 根拠となる条文が民法第753条「未成年者が婚姻をしたときは、これによって成年に達したものとみなす」と「成年である」ではなく「成年とみなす」だし、法律内でその法律における成年の定義があるものや、特に成年を定義せず年齢で直接に区分する法律もたくさんあったりして日本だけでもめんどくさいです。でも法律内で定義してない場合は民法の定義に従うことが多いらしいので、特定の法律ではなく一般論としての法的な成年、成人は民法の定義を指すようですね
りさき@はみ禁 @TomoK0827 2015年12月6日
albireo_B なるほど… やはり法律にかかわることは面倒ですね。僕も少しは勉強しないと…。ありがとうございます。
りさき@はみ禁 @TomoK0827 2015年12月6日
でもやはり2(2)が微妙であることには変わりない…
Dcdcxr @Dcdcxr 2015年12月6日
TomoK0827 宮根誠司氏は必ずしもミネヤ屋の司会をする男性だけではないので必要十分条件ではないと思います。他の番組にゲストで出てるかも知れませんし。ほ乳類という切り口もできるからです。とか言うと日常で必要十分条件の事例って難しいですね。ビートたけしであば北野武なのかってのも、うーんって考えてしまいます。
かずさ @Kazusa3544 2015年12月6日
おお、はじめて分かった気がするぞ……!
りさき@はみ禁 @TomoK0827 2015年12月6日
Dcdcxr 考えるべきは「xがミヤネ屋の司会をする男性⇒xが宮根誠司氏」(十分)、「xが宮根誠司氏⇒xがミヤネ屋の司会をする男性」(必要)であります。そのことを踏まえると、宮根誠司氏が別の番組に出ていようと、宮根誠司氏のみがミヤネ屋の司会を行っている男性である以上、十分性も必要性も変化しないように思いますが、いかがでしょう?
りさき@はみ禁 @TomoK0827 2015年12月6日
Dcdcxr AがBであるための必要十分条件というのは、感覚で言えば、「ある対象を示すのに、Aといっても、Bといっても、対象の範囲が変わらない」ということです。日常だと、同じ対象を2つ以上の言い方で言い換えることはあまりない(ように感じる)ので、少し必要十分の例を出すのに苦労してしまいます。
アルビレオ@炙りカルビ @albireo_B 2015年12月6日
必要十分条件の例「ソフトバンクホークスは2015年日本シリーズで優勝した」「2015年の日本シリーズで優勝したのはソフトバンクホークス」とかかなぁ。今年の日本シリーズで優勝しなかったホークスや、今年の日本シリーズで優勝したホークス以外のチームは存在しないから。他の年の事を考えると成り立たなくなります。必要十分条件の具体例はたいていオンリーワンな存在になっちゃいますね
Dcdcxr @Dcdcxr 2015年12月6日
TomoK0827 あーそうか、宮根誠司氏が他の番組の司会をやっている事は、宮根誠司氏がミネヤ屋の司会である事が真であることを崩すわけではないので考えなくていいんだ。ミネヤ屋の司会が宮根誠司氏なのは真なので、ともに真であるから、これは必要十分条件になると。
節穴 @fsansn 2015年12月6日
「PならばQ」であることは「Qまたは(Pでない)」であることの必要十分条件である。とか。さらにド・モルガンの法則から「((Qでない)かつP)でない」も必要十分条件になる。 ちなみに私が前にコメントした (P⇒Q)⇒P と P の関係ついて各々の要素であるPQに総当りで真真/真偽/偽真/偽偽を当てはめると、Qの真偽に関わらず同値になるので ③必要十分条件である が正解。
りさき@はみ禁 @TomoK0827 2015年12月6日
Dcdcxr そういうことになりますね。日常の例で考えると、やはりややこしいようですが、いい思考の練習にはなりますね!
りさき@はみ禁 @TomoK0827 2015年12月6日
主です。必要十分条件の例に言及されている方々、ありがとうございます! 参考になります。またそのうち上のまとめに追加編集する形で必要十分条件の例を入れておきます。
ふぉい @soama39 2015年12月7日
TomoK0827 「年齢計算ニ関スル法律」で検索してみるといろいろ面白いですよ。ある知人は、20歳の誕生日前日が衆院選挙だったのですが投票案内の葉書が届きました。投票日時点では(常識的には)19歳なのに投票できるのです。
りさき@はみ禁 @TomoK0827 2015年12月8日
soama39 興味深い情報提供ありがとうございます! もともと規定されている年齢だけではなく、その年齢に達するとしたもの(範囲)をある意味で拡大しようとする条文がいろいろあるんですね。参考になりました。
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