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「必要条件、十分条件」の見極めは、数学では重要な場面であるとともに、センター試験では頻出です。
ここでは、「必要条件・十分条件」について一度まとめたうえで、練習問題を掲げておきました。
十分条件
き@はみ禁
@TomoK0827
【必要条件と十分条件①】 「AがBであるための十分条件である」とは、 ・「Bが成り立つためにはAという条件があれば十分だ」 ・「Aという条件さえあればBがなりたつ」 ということです。これらは、「A⇒B」が成り立つことと同じことです。 pic.twitter.com/iDBaD6obQo
2015-11-06 22:32:13
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き@はみ禁
@TomoK0827
【必要条件と十分条件②】 例えば、動物xについて、 「xが人類であることは、xが哺乳類であるための十分条件である」 が言えます。xが人類であるという条件があれば、xが哺乳類であるということが(十分)成り立ちます。
2015-11-06 22:55:45
き@はみ禁
@TomoK0827
【必要条件と十分条件③】 また、整数nについて、 「nが6の倍数であることは、nが3の倍数であるための十分条件である」 が言えます。n＝6k(kは整数)とおけば、n=3×(2k)となるので、「nが6の倍数」という条件があれば、「nが3の倍数」ということが(十分)成り立ちます。
2015-11-06 23:00:37必要条件
き@はみ禁
@TomoK0827
【必要条件と十分条件④】 次に「AがBであるための必要条件である」とは、 ・「Aが満たされなければBが成り立たない」 ・「Bが成り立つにはAでなければならない」 ということです。これらは「B⇒A」が成り立つことと同じことです。 pic.twitter.com/QoAnCsoCUt
2015-11-06 23:05:42
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き@はみ禁
@TomoK0827
【必要条件と十分条件⑤】 例えば、動物xについて、 「xが魚類であることは、xがサンマであるための必要条件である」 が言えます。xが魚類でなければxはサンマではありえません。だから、xがサンマであるには、xが魚類であることが必要なわけです。
2015-11-06 23:11:04
き@はみ禁
@TomoK0827
【必要条件と十分条件⑥】 また、整数nについて、 「nが5の倍数であることは、nが10の倍数であるための必要条件である」 が言えます。nが5の倍数でなければnは10の倍数になりません。つまり、nが10の倍数であるにはnが5の倍数でなければならないわけです。
2015-11-06 23:22:20
き@はみ禁
@TomoK0827
【必要条件と十分条件⑦】 もちろん「nが5の倍数であることは、nが10の倍数であるための必要条件である」 をいうのに、「nが10の倍数であるときは、nが必ず5の倍数になる」とか、「nが10の倍数になるのは、nが5の倍数のときだ」といっても同じです。
2015-11-06 23:26:41↑最後のカギかっこ、正しくは「nが10の倍数になるのは、nが5の倍数のときだけだ」ですね。すみません。
図にすると…
き@はみ禁
@TomoK0827
【必要条件と十分条件⑧】 A,Bをある条件として、 「A⇒B」のとき「AはBであるための十分条件」 「A⇐B」のとき「AはBであるための必要条件」になるのでした。 これを図にすると、画像のようになります。 pic.twitter.com/vr8wz6m2Hl
2015-11-06 23:36:52
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き@はみ禁
@TomoK0827
【必要条件と十分条件⑧補足】 「は」「ための」の言葉が大事です。 ・「は」からでてくる矢印が成り立てば「十分条件」 ・「は」へやってくる矢印がなりたてば「必要条件」 です
2015-11-06 23:40:15いわゆる「十→要」ってやつです。
「A⇒B」のとき、
・「AであることはBであるための十分条件である」
といいますが、これを、
・「BであるためにはAであることが十分である」
ということがあります。後者の言い方の場合には、自分で「Bであるため」「Aであることが」を逆にして考える必要があります。
また、「A⇐B」(すなわち「B⇒A」)のときも、このことを
・「AであることはBであるための必要条件である」
といいますが、これを、
・「BであるためにはAであることが必要である」
ということがあります。やはり後者の言い方の場合には、「Bであるため」「Aであることが」を逆にして考えなければなりません。
き@はみ禁
@TomoK0827
【必要条件と十分条件⑨】 そして、「A⇒B」と「A⇐B」(「B⇒A」)が成り立てば、 「AはBであるための必要十分条件」だとか、 「AとBは(互いに)同値である」というわけです。
2015-11-06 23:43:24⑧の図です。これさえあれば、少なくとも
「○○であることは、△△であるための[ ]」
の問題を、(あとは「○○⇒△△」や「△△⇒○○」の真偽を正しく判断できれば)正解することができます。
練習問題
さて、ひと通り解説が終わったので、練習問題でもいきましょうか。
5問(ただし1問2題なので実質10題)出題します。
き@はみ禁
@TomoK0827
【必要条件と十分条件ー練習1】 [ ]に入るものを、画像の①～④から1つ選べ。 1)ある動物がカラスであることは、それが鳥類であるための[ ] 2)ある人が女性であることは、その人がAKB48メンバーであるための[ ] pic.twitter.com/dYBuVLtMlt
2015-11-08 10:54:16
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き@はみ禁
@TomoK0827
【必要条件と十分条件ー練習2】 [ ]に入るものを、画像の①～④から1つ選べ。 1)小麦粉があることは、たこ焼きができるための[ ] 2)ある人が成人であることは、その人が20歳以上であるための[ ] pic.twitter.com/GcXOgAPAsV
2015-11-08 10:59:55
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