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基礎固めbot @studybottttttt
この解説は、去年のセンター試験2B(過去最難関と言われた)を使って行います。 眺めてくるか解いてくるかしてから読んでもらえればありがたいです。 過去問は、東進過去問データベースに無料登録して手に入れてください。
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それと、過去問の解説だけではなく、その都度その都度、数学のことについてや、その他のこと、小話を挟みながらやっていきたいと思ってます。 また、30分で解くことを解説と言いましたが、時間を短縮する方法ばかりを解説するわけではありません。 おれの数学観をできる限りお話しします。
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基本的なことから話を進めていこうと思ってますが、東大京大志望の方が、自分の実力を最大限に発揮して、さらっと満点が取れるようになる起爆剤になるようなものにもしたいと思ってます。 数式や抽象的な話に埋もれず、レモンスカッシュでも飲みながら、リラックスして一緒に考えてください。
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ちなみにこのレモンスカッシュっていうのは、おれの大好きな東進衛生予備校の数学講師、長岡泰史先生のテキストの前書きを意識したものです。 さんこうまでに(´・ω・`) pic.twitter.com/CHrya7T23d
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センター数学 ときいて、みなさんはどうなイメージを持たれますか? ・時間が厳しい ・計算量多い ・簡単余裕 様々だと思います。 中には、国立大学の二次試験の問題を時間内にサクサクこなせるのに、なぜかセンター数学で8割切ってしまう。 なんて人もいるかと思います。
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そう言った人は口々にこういう言い訳をするでしょう。 ・解けば解けるけど時間制約が厳しいから無理 ・計算ミスしたから大問1個落とした などなどです。 ほんとに時間制約が厳しく無理で、計算ミスも不可避なのでしょうか? センター試験は鬼なのでしょうか?
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国語でも述べた通り、センター試験というのは、時間制約の厳しい試験です。最初からそれはわかりきったことです。 時間が足りないからできないのじゃない。時間が足りるような訓練が足りないんだ。 そういう意識をまず持つようにしてください。今後、時間が厳しいからできないは禁句です。
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また、計算ミスはだれでもするから、防ぎようにないことなのでしょうか? それは全く違います。 確かに、内容がわかっていても、計算ミス、ケアレスミスはだれでも起こり得ます。人間ですから。 しかし、その可能性を限りなく0に近づけていくことももちろんできます。
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何が必要なのでしょう。 このことは、問題解説を始める前にまずしっかりと意識してもらいたいので、先に話しておきます。 ・基本事項を徹底することで見えることを大切にする ・煩雑な計算に埋もれずに大局観をつかむ ・数式の処理の仕方の基本をおさえる この3点です。
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それでは、実際に問題にあたりながら、そういったことをどう意識していくのかをできる限りお話しします。 過去問の準備お願いします。 それでは、2015年数学2B 始めます(´・ω・`)
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まず第1問を開くと、xy平面上での動点P,Qの扱いになってますね。 それぞれ座標設定されています。三角関数の和や差でその動点は定義されています。 動点の扱いと聞くと、何を思い浮かべますか? pic.twitter.com/69iuRm1daz
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中世ヨーロッパの時代が終わり、近代世界にさしかかっていく頃、人々の価値観は、相対化、つまり、客観的に世界をとらえる方向に、どんどん引き寄せられていきます。 客観的な事実を集め、その性質をシンプルな設定から議論していく、近代科学も、この思想に基づき、構築されてきました。
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そして、その自然科学の中でも、一際群を抜いて世界に対する整合性を人々に認められたもの、古典物理学も、この頃確立されています。17世紀、18世紀頃のお話です。 ニュートンは、世界は、粒子の振る舞いを表現することで、実に単純に語ることができる。こう主張しました。
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彼は、運動方程式が全ての粒子の運動を決める法則であり、その下で世界は語れるんだ。 という世界観を、実験、理論、実証(現実世界と照らし合わせること)を通して、構築していきました。 そのとき、粒子の運動を表現するために、粒子の位置をどのように定義するかという問題がありました。
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それを解決したのが、ベクトルです。 運動する物体(粒子)を表現するための数学的手段として、ベクトルは大きく物理学に貢献しました。 ですから、動点を扱うときに、『ベクトルを用いて考える』という発想は、まさに、生きた数学なのです。
基礎固めbot @studybottttttt
ここでもやはり、座標設定された動点を扱う問題であることから、 ・ベクトルの発想を入れると、さらっと見えることがないかな? ・角度などを扱うことがあれば、内積なども有効かな? と、こういったことが頭に浮かぶようになりたいです。
基礎固めbot @studybottttttt
実際どうでしょう。 (1)の問題を見ると OPの大きさ PQの大きさ OQの2乗の大きさ が問われていますね。 座標上で話が進んでますから、もちろん、解析幾何(図形と方程式)の発想を入れても構わないですが、
基礎固めbot @studybottttttt
ベクトルOP,ベクトルPQ,ベクトルOQを考えて議論する方が自然に思われます。 穴を埋めなきゃいけないから、今考えていたことを、定量的に扱っていきましょう。 ここで、闇雲に計算式を書いて、穴を埋めるなんてこと、絶対にしてはいけません。
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OPベクトルは、三角関数の定義そのものですね。単位円ではないものの、半径が2の円を描いています。 PQベクトルはどうでしょう。画像の式変形を頭に思い浮かべて、具体的に座標を見てみると pic.twitter.com/Pu8wiMzfe5
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θの項が消えて、7θの項が残ることが暗算でわかりますね。 そうなると、PQベクトルが画像のようだとわかりますから、またまた三角関数の定義に戻ることになりますね。 pic.twitter.com/vgmNysj2gq
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この半径がθとともに変化する としたら、どうなるでしょう もう円ではなくなってしまいますね このとき、軌跡は、 ・中心からの距離r ・動径θ と2つの変数をつかって書くことができます。 pic.twitter.com/joSzzm6y6w
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基礎固めbot @studybottttttt
このように、2つの変数をとって、動点の扱いを考えようとする座標の取り方を、極座標表示と言います。 円運動は、その変数の1つ、rを定数と見る考え方なのです。 また、おれたちは、平面上の点は、xy平面で考えると、座標を定めることができると知っています。
基礎固めbot @studybottttttt
この普段やっている座標軸の取り方を、正規直交基底、と言うんですね。 余談でした。 ここでは、ベクトルを入れ三角関数の定義を考えることでさらっとアイを答えられるようになってもらいたいです。
基礎固めbot @studybottttttt
またOQの2乗の大きさはどう考えればよいでしょう。 同じですね。OQベクトルを考えることで、その大きさの2乗を計算します。 このとき、また闇雲に計算に走る、なんてこと、してはいけません。 穴埋めで問われていることはなんでしょう。
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