基礎固めbotの数学2B解説

基礎固めbot @studybottttttt

cosやsinといった記号がついていない、ウの部分と、何やらごちゃごちゃした青線の項がついたエの2つですね。 なにをやってるのか、考えてみましょう。 大きさを計算するということは、 pic.twitter.com/grDUzJfOmO

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次のように計算することになりそうですね。 このとき、どんな項が出てくるでしょうか。 cosθとsinθの係数、cos7θとsin7θの係数が揃ってますね。 そうです。三角関数の定義から得られる pic.twitter.com/l5BIxZwjsx

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画像の式を考えれば、2乗された項が全て定数になることがわかります。 これがウを作っていたんですね。 また、2乗の計算では、必ずクロスターム(画像を見てください)項が出てきますね。これがエをつくってることもわかります。 pic.twitter.com/iID6Z4KUsG

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ここまで考えると、 ・ウは2の2乗、1の2乗を足したら出てくる ・エはクロスターム項だから2cosθや2sinθがあることを考えて、2×2で4だ とわかると思います。 考えてみてください。 闇雲にOQの2乗を展開してから、ウエを見て埋めていく方が

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丁寧で、計算ミスも防げる方法だと思いますか？ 内容がわかって、その上で必要な計算をすることと、闇雲に暗算することはまた違います。 丁寧に機械的な計算をしていくことと、ケアレスミスを防ぐために最善を尽くすことはまた別の次元です。 肝に銘じましょう。これからもっと差がつきます。

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そして、オをみて、三角関数で唯一瞬時に公式を導出できないため、ある程度覚えてなきゃいけない、加法定理を考えて、埋めます。 ここまで、途中計算は一切いりませんね。 マックにも勝るスーパーコンピュータを、徹底的に駆使してください。 pic.twitter.com/cp4rNTxieN

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さて、次を見ると、OQの最大値が問われていますね。OQ自体が正ですから、OQの2乗の最大値が、OQの最大値を与えることは、誰でもわかると思います。 このとき、変数はなんなのかに注意する必要がありそうですね。

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OQの2乗はθの関数であることに間違いはありませんが、θの関数というより、6θの関数なのです。 θが変化することで、6θが変化し、さらにはその6θの変化に応じて、cos6θが定まり、OQが定まり、OQの2乗が定まるのです。 pic.twitter.com/daUQCdY6ai

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となれば、まずやるべきことは、 ・θの範囲から、6θの範囲を特定する ことですね。 画像のような対応関係になってることは、数学をこれまである程度勉強してきた方々なら、さらっとわかるでしょう。 pic.twitter.com/1YoSA9Bfej

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またその上で、OQの2乗自体は、cos6θの関数となってるわけですから、6θとcos6θの対応関係を考えなきゃいけませんね。 なにが有効でしょうか。 ここで、三角関数の定義を考えてみます。

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三角関数の定義とは、画像の通りでした。 三角関数と、その位相(ここではθ)との対応関係は、単位円を考えることで、考えやすくなります。 ここでも、その例に従うことにしましょう。 pic.twitter.com/anpZemZUw9

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とすると、画像の赤の部分を6θが動くことがわかります。 cos6θはその範囲の単位円上のx座標として定義されています。 3π/2で最大値0をとることが見えますね。 pic.twitter.com/dRq3ktguyB

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聞かれているのはθですから、画像の対応関係を考えて、θ=π/4のとき、最大値√5とわかるわけです。 ここまでついてくるのに、あなたはどのくらいの途中計算が必要だと考えますか？ pic.twitter.com/5z8gr430tm

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・単位円を書かなきゃ、対応関係が見えない という人もいれば、 ・θと6θの対応関係から書かなきゃすぐにはわからない という人もいると思います。 当たり前です。人それぞれ、問題の演習量、理解度、そこに由来するイメージ量に差があります。

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あなた自身のレベルに応じて、どのくらいの計算をするべきか、決めてください。 しかし、最終的には、このくらいの問題なら、対応関係をさらっとイメージして、即解答しなきゃいけないレベルまでは到達しなきゃ、訓練が足りないんだ。 と思っておいてください。

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以上より、画像のような状態まで、途中計算なしで進むことになります。 少しイメージが湧いてきましたか？ 東進の苑田先生の言葉が心に響きますね。 数式は言葉です。計算じゃない。 pic.twitter.com/NNCvST0ikJ

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さぁどんどん行きましょうか。 (2)では、O,P,Qが一直線上にあるようなθの値 だそうです。 一直線上…ますます、ベクトルが有効な手段として使えそうな設問になってきましたね。 当然です。ベクトルは、動点を考察する際、抽象的なレベルまで、極めて有効に働きます。

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まずは、OPの方程式を出せ。 とのことです。なにをやらせたいのでしょう。 ベクトルだと、OPベクトルがOQベクトルの実数倍になることから議論する必要がありそうですが、少々式が煩雑になるのを避けられなさそうですね。 直線OP上に点Qが乗る ということから議論するのでしょう。

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これはどんな出し方でも構いません。どんな方法でも瞬時に出ますね。 xとyの比が常にcosθとsinθの比に一致している軌跡が直線OPを与えますから、3番を選びましょう。 これも計算なんていらないですね。 pic.twitter.com/7dYdJZNcrB

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そしてこういった一般角の問題などでは、 ・常に具体化して、検算を頭の中で考えながら進める というのがとても大事です。ここでは、例えば、θを45度なんかにすると、y=xが出てきますね。 あ、恐らくあってるな。と思うわけです。 ちなみに0は内積を表してますね。

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そして、ケを見ると、一直線上にあるときのθを聞かれていますね。 Qの座標を代入して整理することになりますね。 またまた、闇雲に計算しようとした人、腕立て100回どうぞ（´・ω・｀） 代入したらどんな項が出てくるのか考えてみてください。

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sinθとcosθのそれぞれの係数を見ると、画像のように、クロスターム項が消えてくれることは一目瞭然です。 また、 sincos cossin の並びですから、sinの加法定理を使える。 ということにも気づきます。 pic.twitter.com/kV8agJagFr

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そのとき大事なのは、sin○の○の中身ですね。 マイナスなのかプラスなのか、何倍のθなのか。 ただ、読取らなきゃいけないのは、むしろその2つのみですね。 (1)で答えたときと、6θの範囲は変わりませんから、 6θ=πからθ=π/6が出てきます。

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ここまでも、その人の習熟度によって、途中計算の量が変わってきます。 ただ、何度も言います。 あなたのケアレスミスを防いでくれるのは、途中計算の量ではありません。 内容の理解度と、それにのっとった思考力なのです。 いずれはこの位もさらっと処理できるようになってください。

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さてここから、最後の設問(3)に入ることになります。 どうですかね、角度が出てきました。ここまで散々言ってきましたから、 ・ベクトルの内積かな？ と思えるようになってもらいたいです。 というのも、90度っていうのを座標上で扱うのって結構面倒なんですよね。