【数学】壁関数の条件

鯵坂もっちょ🐟『つれづれなる数学日記』発売中 @motcho_tw

空が見える見えないの話で何が面白いって、指数とかn乗のオーダーの壁だったら「真上を見上げないと空が見えない」ってのもまぁわかるんだけど、こんな形の壁でも空が見えないってのがドチャクソ直感に反するってことなんだよな pic.twitter.com/ZpYouwvJSZ

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調和級数　連続

どね( ｡•̀_•́｡)(｡•̀_•́｡ ) @donnay1224

「そんなまさか」と思ったが、y=√xはゼロ近傍で傾きが無限大になるので、まあ確かにそうかなとも思う twitter.com/motcho_tw/stat…

どね( ｡•̀_•́｡)(｡•̀_•́｡ ) @donnay1224

実際に、y=cxとy=√x (x>0)の交点を求めたら x=1/(c^2) (c>0)となって、これは確かにどんなc>0に対しても成り立つから、どんな仰角で見上げても視線は壁にぶつかることになる(※c>0としたのは、cx=√x かつ x>0, √x>0からc≦0では不成立だから)

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@donnay1224 え・・・そんな感じではなくて、私としてはただ発散するから空は見えない・・・ってつもりだったんですがどこか間違ってるのでしょうか

どね( ｡•̀_•́｡)(｡•̀_•́｡ ) @donnay1224

@motcho_tw 発散する場合でも、真上も見ないで空が見える場合があります。たとえば、y=ax (aは正の定数)で表される壁では、たしかにx→∞とするとax→∞と発散しますが、真上も見ないでも空は見えます。実際に、たとえば視線をy=(a+1)xとすれば空は見えます。

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@donnay1224 あ、確かにそうですね・・・　完全にこないだと同じ勘違いしてたな・・・

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結局いまだにしっかり空が見える/見えないを理解していなかった　発散さえすれば見えなくなるもんだと

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ヒジメイナセイノジッスウカイ・・・

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だったらさっきのsqrt(x)で空が見えない画像、ちょっと嘘ついてるな。目線が原点から出てないし。

どね( ｡•̀_•́｡)(｡•̀_•́｡ ) @donnay1224

@motcho_tw 今回のy=√xの壁場合、原点における壁の接線はx=0になりますので、原点にいる目玉くんにとっては傾き無限大の壁が目の前にあることになります。そう考えれば、こんな緩やかに増える関数の壁でも、空が見えなくなるということが理解できるかとおもいます。

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@donnay1224 あの画像作った時に思ってた感動とはちょっと違ったけど、そっちはそっちでまた別の感慨がありますね！

Hetare_takumu @Hetare_Takumu

@motcho_tw 今更だけどそれは空見えることない？ (√x)' → 0 (x→∞)なので壁の付け根から立ち位置までの距離をLとすると，傾きa > (2√L)^-1で空見えるはず

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@Hetare_Takumu それは身長があれば見えるという話？よね？　一応原点にいる目玉だけのやつのことを考えてたんだけど、どれぐらいの身長ならどれぐらいの角度でどれぐらい空が見えるか考えるのは確かに面白いね

名無し.exe @Natrium_exe

f(x)=x^a(0<a<1)の時、空が見えないのって任意の点の接線が原点と交点を持たないということなので、壁を正の方へちょっとずらすとか眼球に身長持たせるとかするとすぐ空見える

Hetare_takumu @Hetare_Takumu

計算してたら先越されてた

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言われてたね

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「眼球に身長持たせる」

Hetare_takumu @Hetare_Takumu

@motcho_tw 身長ではなく，(-L,0)から仰角arctan((2√L)^-1)で壁の向こう側は見えるよ．

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@Hetare_Takumu わかった観測者がx軸上をx<0側にグッと動き出すということね？

Hetare_takumu @Hetare_Takumu

@motcho_tw そうそう．

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@Hetare_Takumu x軸上の観測者を点(-6,0)みたいなあたりから原点に近づけていくと目線の最低ラインがだんだん立ち上がっていって最後には直立する。その目線の最低ライン傾きがarctan((2√L)^-1である。←まとめ ってことね？完全に理解したわ

Hetare_takumu @Hetare_Takumu

@motcho_tw そういうことそういうこと． 導関数が発散する関数の場合は，目線の最低ラインの傾き(MSE:minimum slopes of eye line )をどんなに大きくとってもそれより大きな導関数の値が取れるので，どう頑張っても壁の向こう側は見えない．

名無し.exe @Natrium_exe

f(x)=(x-b)^a(0<a<1,0<b)の時、(b/(a+1),f(b/(a+1)))を通る接線が原点を通るのでそれより傾き大きくすれば空が見える

名無し.exe @Natrium_exe

計算が間違ってなければ