『笑わない数学者』のパズルと目盛の節約，ゴロム分度器と完全差集合予想について
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Polyhedrondiary
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せきゅーん
@integers_blog
有名なパズル問題です。初めての方は是非挑戦してみてください。 21：笑わない数学者 - インテジャーズ integers.hatenablog.com/entry/2016/02/… pic.twitter.com/vhs6IZvjmk
2016-02-20 12:33:59
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{3,5/2} 大二十面体
@Polyhedrondiary
数珠繋ぎにした5個のビリヤード球。隣接k個(k=1,2,3,4,5)の番号の合計に1から21まで全部の整数が現れるにはどう並べとけばいい？って問題。 解けたー！これ面白い 21：笑わない数学者 - インテジャーズ integers.hatenablog.com/entry/2016/02/…
2016-02-20 18:18:47
{3,5/2} 大二十面体
@Polyhedrondiary
これ一般化して，「番号が書かれたn個の球を数珠繋ぎにする。隣接k個(k=1,2,3,…,n)の番号の合計に1からn(n-1)+1まで全部の整数が現れるにはどう並べとけばいい？」って問題にしたら，いつも解があるのだろうか？ n=5までは見つけたのだけど…。
2016-02-20 18:23:41
{3,5/2} 大二十面体
@Polyhedrondiary
ちなみにn=2なら並びは(当然)1,2， n=3なら1,2,4， n=4なら1,2,6,4， ですね。 n=6はどなたか解けますか？ 一般的に解ける？？
2016-02-20 18:27:48
{3,5/2} 大二十面体
@Polyhedrondiary
隣接じゃなくて，球のすべての組み合わせの合計でやるなら，番号1,2,4,…,2^(n-1)のn個の球で1から2^n-1までの全部の整数が作れますね。2進法。
2016-02-20 18:31:45
{3,5/2} 大二十面体
@Polyhedrondiary
n=6も見つかった！ 任意のnについて一般式で書けたりするんだろうか？ twitter.com/Polyhedrondiar…
2016-02-22 21:53:34
{3,5/2} 大二十面体
@Polyhedrondiary
なんてこった。n=6のあとn=7を探していたのだけど，存在しないってことが判明。 これ，紙と鉛筆でやるパズルになるのはn=6までだな。 twitter.com/Polyhedrondiar…
2016-02-23 22:10:03
{3,5/2} 大二十面体
@Polyhedrondiary
n=14までのうち，解が存在しないのはn=7,11,13 っていうの，とても気になる。何か深い意味が…？ この先の素数でも解は存在しないっぽい。ただしn=15,16,21,22でも解なしの模様。
2016-02-23 22:12:01
{3,5/2} 大二十面体
@Polyhedrondiary
6個の数字1,3,2,7,8,10をこの順に数珠繋ぎにして，隣り合ういくつかの数字を足し算すると，1から31まですべての整数が現れる。 このほかにこれと実質的に異なる4つの別解があるそう。5個の場合同様解はこれ1つかと思った p.twipple.jp/q5cqh
2016-02-24 08:33:59
{3,5/2} 大二十面体
@Polyhedrondiary
8個の数字1,3,8,2,16,7,15,5をこの順に数珠繋ぎにして，隣り合ういくつかの数字を足し算すると，1から57までのすべての異なる整数が現れます。(総計57なので，29以上は残りの数字の合計) p.twipple.jp/8dMGT
2016-02-26 08:18:34
{3,5/2} 大二十面体
@Polyhedrondiary
10個の数字1,2,9,8,14,4,43,7,6,10,5,24をこの順に数珠繋ぎにして，隣り合ういくつかの数字を足し算すると，1から91までのすべての整数が現れる。
2016-02-26 08:32:00
{3,5/2} 大二十面体
@Polyhedrondiary
この順に並んだ30個の数字 1 35 17 21 20 56 7 19 98 5 29 3 11 2 62 6 60 25 15 9 18 4 8 47 10 23 28 44 99 89 から，同様に871までの自然数が全部出てくるそうです。 重複なしですよ，すごい！
2016-02-26 08:33:52
{3,5/2} 大二十面体
@Polyhedrondiary
別解もたくさんあって，このページでまとめて紹介されてる(網羅的ではないそう)。 一般的に解けるような感じはしないけど，そういう研究もされているんだろうか？ 笑わない数学者の問題 …33150e3d62ddf8d3dd166.googledrive.com/host/0B_jXnHoq…
2016-02-26 08:34:49
{3,5/2} 大二十面体
@Polyhedrondiary
笑う数学者のこのパズル，輪っかじゃなくてまっすぐにしたらあの懐かしい目盛節約定規の問題になるんだね。 ||--|-| ↑4目盛で1,2,3,4,5,6のすべての長さが測れる定規
2016-02-26 08:36:38
{3,5/2} 大二十面体
@Polyhedrondiary
でも目盛節約定規は，目盛5個以上になると，どうしても無駄が出てきちゃう。 目盛5個だと1から10(5C2)まで測れるのはできなくて，1から9まで測れるのが最善。 ||--|--|-| ↑3を測れるの場所が2箇所あって，非効率だけどこれはしかたない
2016-02-26 08:38:52
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@Polyhedrondiary
目盛間の全部の長さが異なる定規を「ゴロム定規」と言うらしく，通信などに応用があっていろいろ調べられてるみたい 与えられた目盛数nのなるべく短いゴロム定規は？って問題，測れる長さが1からn(n-1)/2まで全ての整数になるのが理想なんだけど，これはn>=5では不可能(簡単に証明可
2016-02-26 08:42:41
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@Polyhedrondiary
"A CDS of size s for which the modulus is exactly s^2-s+1 is called a perfect difference set" Cyclic difference sets inference.phy.cam.ac.uk/cds/part3.htm
2016-02-27 19:08:22
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@Polyhedrondiary
あのビリヤード球の問題，「完全差集合」と本質的に同じなのか "完全差集合族問題は、電波天文学での移動アンテナ間の間隔取り方問題の抽象化であり" KAKEN - 完全差集合族とそのレーダー配列への応用に関する研究(21540108) kaken.nii.ac.jp/d/p/21540108.j…
2016-02-27 19:09:46
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@Polyhedrondiary
このネックレス，あの笑わない数学者のパズルの答えになってて，5つある黄色の石の間の間隔が，1から21まで漏れなく重複なく揃ってる。 p.twipple.jp/a0KNu Necklaces and numbers inference.phy.cam.ac.uk/cds/part2.htm
2016-02-27 19:16:19
{3,5/2} 大二十面体
@Polyhedrondiary
【本棚登録】『笑わない数学者 MATHEMATICAL GOODBYE (講談社文庫)』森 博嗣 booklog.jp/item/1/4062646… #booklog
2016-02-29 07:55:03
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@Polyhedrondiary
読了。途中の四則演算パズル「10,10,4,4で24を作れ」「7,7,3,3で24を作れ」「8,8,3,3で24を作れ」を充分考えずに読み進めてしまったのがちと心残り。初森博嗣でした twitter.com/Polyhedrondiar…
2016-03-02 07:58:26
{3,5/2} 大二十面体
@Polyhedrondiary
『笑わない数学者』のビリヤード球問題，定規の目盛を節約する問題と関係してるのが面白かった。輪にする(=modで考える)だけで大きなnでも完全性が成り立つようになるっていうのは興味深い。 しかも測れる距離はn(n-1)/2がn(n-1)+1に増えるので，より実用的！
2016-03-02 08:17:03
{3,5/2} 大二十面体
@Polyhedrondiary
完備定規:どの長さも測れる ⊃完全定規:その長さで目盛が最も少ない ⊃最適定規:その数の目盛で最も長い User:Peter Luschny/PerfectRulers - OeisWiki oeis.org/wiki/User:Pete…
2016-03-02 08:19:15
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@Polyhedrondiary
完備なゴロム定規で，n>4のものは存在しない。完備なゴロム定規は，完全定規であり最適定規でもある。 twitter.com/Polyhedrondiar…
2016-03-02 08:22:43
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@Polyhedrondiary
モジュラーゴロム定規(ゴロム分度器)なら，完備・完全・最適なものが一部の例外を除いて存在する。 これnがどういう数のときに存在するのか，解明されているんだろうか？ twitter.com/Polyhedrondiar…
2016-03-02 08:27:21