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2016年4月9日

elementary submodel、モデル理論っぽい集合論

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位相空間論とelementary submodel

じゅー @yjjtw

Arhangel'skiĭの不等式 - yujitomoのブログ yujitomo.hatenablog.com/entry/2016/02/… これを書く時に長田潤一のModern General Topologyを参考にしたのだけど、この本の証明は間違っていた

2016-02-11 12:30:34
じゅー @yjjtw

cf(θ)>κ,X⊂H(θ),|X|≦2^κのとき、 [M]^(≦κ)⊂M,|M|≦2^κ,X⊂M,M≪H(θ)となるMがある

2016-04-08 19:35:53
じゅー @yjjtw

X=M_0⊂M_1⊂…⊂M_α⊂…⊂H(θ) α=β+1 x∈[M_β]^(≦κ)なら∀y∈x,|trcl(y)|<θ、|x|≦κ<θより|trcl(x)|=|x∪(∪_(y∈x)trcl(y))|<θ∴x∈H(θ)∴[M_β]^(≦κ)⊂H(θ)

2016-04-08 19:36:07
じゅー @yjjtw

LS→M_β∪[M_β]^(≦κ)⊂M_α⊂H(θ),M_α≪H(θ)なるM_αがとれる αが極限ならM_α=∪_(β<α)M_β。 M=∪_(α<κ+)M_αが求めるもの。

2016-04-08 19:36:17
じゅー @yjjtw

@yjjtw これからArhangel'skiiの不等式が出る

2016-04-08 19:38:15
じゅー @yjjtw

@yjjtw もちろん直ちに系として従うわけじゃないけど

2016-04-08 20:28:33
Eureka GAP @j_tGAP

これこそがsubelementary modelという手法らしい。名前は知らなかったが、使ったことある議論だった。

2016-04-08 19:48:04
zena @zena_mp

set theoreticな位相の話を扱っている人は基本的に強制法もelementary submodelも使えるという印象しかない.

2016-04-08 20:40:48
Atsushi Yamashita @yamyam_topo

あの辺の話は elementary submodel の話だとは聞くけど、実は elementary submodel の定義から何も知らなかったり。

2016-04-08 20:36:23
Atsushi Yamashita @yamyam_topo

Elementary submodel も人類の常識なのか。。常識ない。。

2016-04-08 20:42:55
Eureka GAP @j_tGAP

elementary submodelはすぐ理解できます。要するにVの小さなelementary model(に限りなく近いもの)を作れるという話です。[以後間違い等あれば教えてください]

2016-04-08 21:02:20
Eureka GAP @j_tGAP

ある定理を示すとして、それに必要なZFCの有限個の公理をピックアップします。すると「反映定理」から、それらを満たすような十分大きなV_κなりH_κなりがとれます。

2016-04-08 21:07:07
Eureka GAP @j_tGAP

ここで「レーヴェンハイム-スコーレムの定理」が使えます。その言明をのべると以下の通り: 集合モデルMとMの部分集合Xに対して、Xを含みかつ濃度が|X|+ωとなるようなMのsubmodel Nがとれる。

2016-04-08 21:12:24
Eureka GAP @j_tGAP

Mとして先ほどのV_κをとってやると、十分にZFCの公理を満たすような小さな集合Nがとれるわけ。このNにもう少し条件を課すには、じゅーくんがツイートしていたようにモデルを少しずつ拡大していってやればよい。

2016-04-08 21:15:53
Eureka GAP @j_tGAP

submodelの極限もやっぱりsubmodelだというのは「基本鎖定理」で保証されます。反映定理は集合論の定理なのでまあ面倒ですが、それ以外の二つはモデル理論の初歩的な定理なのですぐ理解できるとおもいます。ゲーデルと20世紀の論理学の記事を読めばよいと思います。

2016-04-08 21:20:23
ぴあのん @piano2683

モデル理論、必要な性質を満たすようにモデルを拡大していくことしかやってない [誇張]

2016-04-08 22:47:29
ぴあのん @piano2683

(不可算)超限個の拡大を取る論法を500000000回くらい使いますね

2016-04-08 22:48:55
じゅー @yjjtw

Arhangel'skiiの不等式 - ニコ百 dic.nicovideo.jp/id/5400233 #nicopedia 定期的に宣伝してArhangel'skiiの不等式を世間に浸透させたい

2016-03-24 03:09:46
Atsushi Yamashita @yamyam_topo

@yamyam_topo これ、Hausdorff 性を使っている場所が分かりにくいんですが、閉包の濃度をもとの濃度で評価するところですかね

2016-04-09 00:13:24
じゅー @yjjtw

ニコニコ大百科を専門家がノート取りながら読んでる。。。

2016-04-09 00:14:33
Atsushi Yamashita @yamyam_topo

@yjjtw この証明、Hausdorff 性を使っているのが E∪ ∪F_α の閉包の濃度を評価する場所だけだと思うのですが、その部分が分かりにくいのでもう少し詳しく書いてはどうでしょうか。

2016-04-09 16:14:41
じゅー @yjjtw

@yamyam_topo そうですね、確かに明記した方が良いような気もします。 (プレミアム会員なら大百科の編集できるんですよ!!!!ぜひやってみませんか?)

2016-04-09 17:41:47
じゅー @yjjtw

Arhangel'skiiの不等式みたいに露骨に濃度が絡むやつはレーヴェンハイムスコーレムとかでちっさくとってそいつの部分集合になるやらなんやらで示せそうって感じるけど、距離空間のΣ積が正規とか、そういうのもイケるらしいしそれすげーよな

2016-04-09 12:57:33
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