alg_dによる「選択公理⇒Zornの補題」の概略

Jun Inoue @jun0inoue

選択公理からZorn、真面目にやると割と辛い。

Masaki Hara @qnighy

選択公理からZorn示す証明というのを探してみるとどこからか順序数が降ってきていることになっていたりして僕にはよくわからない

ホテルバルティック（クローン）@築27年 @noan6251

選択公理からZorn，某松坂集合位相は初めて読んだ時意味が分からなくて投げた．

V-alg-d（ZZ） @alg_d

@noan6251 今も意味よくわからん

ホテルバルティック（クローン）@築27年 @noan6251

@alg_d いや今読んだら意味分かるでしょ～ｗｗって思って開いたけど意味分からん

V-alg-d（ZZ） @alg_d

Zornは要は上にずっと登っていくとそのうち止まりますよというだけの話で分かれば難しくはない

V-alg-d（ZZ） @alg_d

Zornは非常に大雑把にいって超限帰納法を使う証明と使わない証明があって例えば松坂とかは使わない証明なんだけど、使わない証明は整列集合の性質とかを駆使していて非常に難しい

V-alg-d（ZZ） @alg_d

だから順序数とか怖がってないでふつうに順序数を習得して超限帰納法使った方が5億倍簡単

V-alg-d（ZZ） @alg_d

Zornを示す概略: (X, ≦)を帰納的順序集合とする。x_0∈Xを一つ取る。x_0が極大元なら証明終了。極大元でなければ、x_1>x_0が取れる。x_1が極大元なら証明終了。極大元でなければx_2>x_1が取れる。x_2が(ry

V-alg-d（ZZ） @alg_d

運悪く(?)極大元に出会えなかった場合はこうして無限上昇列 x_0 < x_1 < x_2……を得る。ここでXが帰納的であること、すなわち「部分全順序集合Y⊂Xは上界x∈Xを持つこと」を使うと、「∀n∈N, x_n < x_ω」となるx_ω∈Xを取ることができる。

V-alg-d（ZZ） @alg_d

x_ωが極大元なら証明終了。極大元でなければ、x_{ω+1}>x_ωが取れる。x_{ω+1}が(ry

V-alg-d（ZZ） @alg_d

運悪く(?)極大元に出会えなかった場合はこうして無限上昇列 x_0 < … < x_n <… < x_ω < … < x_{ω+n} < …を得る。ここでXが帰納的であることを使うと、「∀n∈N, x_{ω+n} < x_{ω+ω}」となるx_{ω+ω}∈Xを取ることができる。

V-alg-d（ZZ） @alg_d

x_{ω+ω}が極大元なら証明終了。極大元でなければ(ry

V-alg-d（ZZ） @alg_d

運悪く(?)極大元に出会えなかった場合は(中略)「∀n∈N, x_{ω+ω+n} < x_{ω+ω+ω}」となるx_{ω+ω+ω}∈Xを取ることができる。

V-alg-d（ZZ） @alg_d

無限ループって怖いね

V-alg-d（ZZ） @alg_d

こうしてこの操作はいくらでも続けることができる。

V-alg-d（ZZ） @alg_d

ところが、ここで帰納的であることを使うと、「この操作で取り続けてできる x_0< … < x_ω < … 」の上界 x_{ω_1}を取ることができる。

V-alg-d（ZZ） @alg_d

「x_0 < … < x_ω」や「x_0 < … < x_ω < … < x_{ω+ω}」や「x_0 < … < x_ω < … < x_{ω+ω} < … < x_{ω+ω+ω}」は明らかに可算無限の長さだったけど、

V-alg-d（ZZ） @alg_d

今得られた「x_0 < … < x_ω < … < x_{ω+ω+ω} < ………… < x_{ω_1}」は非可算な長さになっている。

V-alg-d（ZZ） @alg_d

つまり、この操作をどんどん繰り返していくと、どんどん大きい濃度の列を取ることができる

V-alg-d（ZZ） @alg_d

ところで今 x_i は X の中から取っているんだから、 「|X| を超えるような濃度の無限列」は取れないはずである。ゆえに、この操作はどこかで止まらなければならない。操作が止まるためには、どこかのタイミングで x_i が極大元にならなければならない。よって極大元が存在する。

V-alg-d（ZZ） @alg_d

証明は以上で、この証明で出てくる「操作」をきちんと正当化する為には順序数やら超元気農法を理解する必要がある。

V-alg-d（ZZ） @alg_d

壱大整域とかいうサイトに書いてあるZornの証明読んだけど何が書いてあるんだあれは