選択公理について @hyuki さんがask.fmで聞かれていたことに横から答えてみる

くるる @kururu_goedel

そういえば、数日前に@hyuki さんが選択公理について絡まれていた件で、誰かまともなフォローをいれたのでしょうか？一応書いておきます。

くるる @kururu_goedel

とりあえず、ZF前提で。弱い算術で可測な空集合と可測でない空集合があるとかそんなケースは@tri_iro さんに聞いてくださいよ…。

くるる @kururu_goedel

集合xが空集合でないこと(x≠∅)と、xに元が存在する(∃y(y∈x))は同値になります。その意味で、空でない集合から元を取り出すことは選択公理抜きで可能です。とはいえ、「元を取り出す」ってどういうことかを本当は定義しないといけませんが。

くるる @kururu_goedel

それを繰り返して、有限個の非空集合x1, …, xnがあったときに、それぞれから要素を取り出すこともできますね。つまり、y1∈x1, …, yn∈xnとなるようなy1, …, ynもとれます。まあnが極めて大きいときに本当にできるのっていうある意味哲学的な問いはあるにしても。

くるる @kururu_goedel

じゃあ無限個の非空集合からなる集合族(xn : n∈N)があったときにもそれぞれのnに対してyn∈xnが成り立つような(yn : n∈N)があるのかっていうと、そこは選択公理が必要になるわけです。無限回の繰り返しは人間にも普通の論理にもできませんから。

くるる @kururu_goedel

(普通の論理上では)無限の操作をするためには、既に存在を仮定されている無限の手を借りたり、選択公理の力を借りたりしないといけないんですよ。そして、その無限回の繰り返しが必要になるのは、要素が無限個のあるからではなく、要素を取り出したい集合が無限個のあるからなんですよ。