面演算子を指定するデータとは？

🥑 @yujitach

@hirakunakajima なるほど、いろいろと有り難うございます、勉強します。Collingwood-McGovern はそろそろ自分用に買うべきかという気がしてきました ... 何度も図書館から借りているので。

Hiraku Nakajima @hirakunakajima

@hirakunakajima @yujitach special 冪零軌道は、Springer 対応を通じてWeyl群の表現と関係があり、Langlands双対とも相性がいいようです。n(O)は、これを special でないものまで拡張したものかもしれません。

Hiraku Nakajima @hirakunakajima

@hirakunakajima @yujitach Lusztigの0708.3430というのは、Twelve bridges from a reductive group to its Langlands dual というサーベイです。

Hiraku Nakajima @hirakunakajima

@hirakunakajima @yujitach Lusztigの0708.3430を見ると、 Langlands 双対のもとで、special 冪零軌道の間にbijectionがあり、深い結果が成立しているようです。

Hiraku Nakajima @hirakunakajima

@yujitach 冪零軌道は、素人を寄せ付けない世界なので、つらいものがありますが、McGovernの本を見ると Spaltenstein 双対性という転置を一般化したものがあり、(ただし一般には全単射で無いようです) special 冪零軌道というものとも関係するようです。

🥑 @yujitach

@hirakunakajima しかしまあ主は 0 に、subregular は極小にうつると思います。

🥑 @yujitach

@hirakunakajima はい。仮定したとして、O の閉包が O' を含むと、n(O) を n(O') を通る軌道の閉包が含むとはず(多分)。A型の場合はヤング図をひっくり返せばいいですが、他の場合はよくわかりません。

Hiraku Nakajima @hirakunakajima

@yujitach まだ、n(O) が O にどのように依存しているのか理解していませんが, 前にいわれていたように極限をとることによって、n(O) が変わらないとすると、O は冪零と仮定してよい？

🥑 @yujitach

@hirakunakajima 僕も答えが知りたいです。単にリー環の言葉だけで書ける筈ですが、結果は知りません。古典群の場合は判る筈ですが、例外群の場合は原理的にどうやればいいやら... 数学のほうで巧い対応は知られていませんか？

Hiraku Nakajima @hirakunakajima

@yujitach O --> n(O) の対応は、ゲージ理論を忘れてリー環の余随伴軌道の話だけになっているような気がするのですが、数学の文献で知られているものなのでしょうか？ アファインのラングランズ双対にいかなければいけないので、難しいのでしょうか？

🥑 @yujitach

@hirakunakajima それは僕の(弦理論屋全般の?)悪い癖で、「ν 型の面演算子は、きちんと指定するには n(O)=ν なる余随伴軌道 O を指定しないといけないが、特に O が半単純ならば Levi とカルタンの元で決まる」というのの前半を端折っているのです。

Hiraku Nakajima @hirakunakajima

@yujitach 用事が終わって部屋に帰ってきました。Biquard のτ、σ両方入ったので、いいのだとすると、面作用素のデータは、Leviとカルタンの元で決まる、という、朝の説明がまた分からなくなってしまうのです。

🥑 @yujitach

@hirakunakajima Biquard ので t とσと両方いれるのと同じだと思ってましたが、違いますか？

🥑 @yujitach

@hirakunakajima 反自己双対接続が、特異点近くで、ヒッチン系の解に近づくが、近づかれたヒッチン系の解は、平坦接続だと思った際に、指定されたモノドロミーを持つ、そういう反自己双対接続を考えなさいということです。

Hiraku Nakajima @hirakunakajima

@yujitach 2:00から用事なので、あまり考えていなくて質問してしまいますが、平坦接続というだけだと、半自己双対方程式のうちの複素のところだけしか満たされないのでは？

🥑 @yujitach

@hirakunakajima 特異性を指定する為に(xy)方向に定数でHitchin系だと思うと、平坦接続と思えますが、これの特異点周りのモノドロミーです。半単純でもいいですがベキ零でもいいと思いますが。

Hiraku Nakajima @hirakunakajima

@yujitach n(O)はとりあえず分からなくてもいいですが、O型の特異性のある半自己双対接続、ってもう少し詳しく説明してもらえます？

Hiraku Nakajima @hirakunakajima

@yujitach そうか、(アファインの)ラングランズ双対に行かないといけないので、私が書いたようにσということはありえないですね。

🥑 @yujitach

@hirakunakajima すると、ゲージ群GでO型の特異性のある半自己双対接続のモジュライの直和の同変(交叉?)コホモロジーを取ると、G'^(r) に対して n(O) で量子DS還元したW代数が見えるはずですが、さて。

🥑 @yujitach

@hirakunakajima 納得なさらないのは御尤もです(A型以外は僕も納得できていません。)一般にはGの余随伴軌道Oに対して、L(G^(1) )=(G')^(r)であるようなG'を取って、G'の order r の自己同形と交換する適切な冪零元 n(O) が定まっている筈。

Hiraku Nakajima @hirakunakajima

@yujitach ううむ、弦双対性という説明で納得するわけにはなかなか行きませんが、ご説明ありがとうございました。それから、前に戻ると箙の安定性パラメータは、何が「自然か」はあまりよく分かりません。自分にとって一番扱いやすいのが、今使っているパラメータであることは分かりますが.

🥑 @yujitach

@hirakunakajima ですから余随伴軌道に対しW代数を決める冪零元が決まりますが、この操作は(弦双対性を使うため)A型以外は良く判ってません。A型の場合はおっしゃる通り、「軌道からひとつ元をとって、それと可換な一番大きなSL(2)三つ組みを取れ」というものですが。

🥑 @yujitach

@hirakunakajima Biquard の t, σ はこの軌道を与えますが、直接W代数を与える冪零元とは関係ありません。例えば、固有値の全部異なる半単純軌道の極限を取ると主冪零軌道になりますが、これらは全部「同じW代数に属する」面演算子になります。

🥑 @yujitach

@hirakunakajima 超対称ゲージ理論の面演算子を決めるのは、SL(N) 内の余随伴軌道と思うべきで、通常のαは半単純軌道ですが、冪零軌道を考えることもできますし、混ざったものを考えることもできます。

🥑 @yujitach

@hirakunakajima W代数を決める冪零元はそのσ_iではないです。4次元場の理論の面演算子の立場では直接見えません、弦理論の双対性を何回か使うと見えますが。ルールは冪零元の定めるSU(2)部分群と交換するところがゲージ理論で見えるLevi部分群になるというものです。