Pmax

かわず @kawazu1147

選択公理って認めるか認めないかを議論する意味が分からないんだけど、選択公理からそんなに直感に反するような結果が得られるんですか

くるる @kururu_goedel

@kawazu1147 「あ、当然だけど球を分割して組み立て直すと増やせるとかいう、俺が胎児のときに自力で証明したような自明なやつは除くよ」ですね、わかります　#かわず大先生

くるる @kururu_goedel

. @kawazu1147 @alg_d ネタにマジレスしておきますと、選択公理と矛盾する決定性の公理のモデルから、とても強い性質を持つ選択公理の成り立つモデルを作るPmaxという手法などもありますし、選択公理の成り立たない数学は少なくとも有益です。

V-alg-d（ZZ） @alg_d

@kururu_goedel な、何ですと… そのPmaxというのは難しいものでしょうか。

くるる @kururu_goedel

@alg_d Pmaxは難しいです。というか、私もよくわかりません。概要は、同僚にいる数少ないPmax使いの講演で聞いたのですが。

V-alg-d（ZZ） @alg_d

@kururu_goedel なるほど、そこまでとは。色々ありがとうございます。

@tenapi

慣れれば匂いでわかるようになります。 RT @shinjike: 結構明示されないで使用されていますよね、選択公理ちゃん。あれ、人文学徒にはつらいからやめてほしい。

くるる @kururu_goedel

@tenapi 私は未だに慣れてません。同僚がAD仮定してPmaxとかやっていると怖くて吐きそうです……。

くるる @kururu_goedel

でも、PmaxはあくまでZF+ADのモデルの強制法拡大だから、L(R)を含むようなZFCのモデルを考えたとしても、あんまり本質的な影響はないのではないかと。

蟆 @patho_logic

Pmax が攻めて来た。

蟆 @patho_logic

Pmaxは巨大基数をどこらへんで使ってるかピンとこなくて難渋してる。

くるる @kururu_goedel

@patho_logic うろ覚えですが、ADは強制法で超べきの極限として作ったモデルがω_1の部分集合論を全て元としてもつことをいうのに使われています。そして、多分ここだけでしょう。詳細は知らないので、その証明のどこでかはわかりません。

蟆 @patho_logic

@kururu_goedel もうちょっと細かい話で「L[a]-ウルトラフィルターで超冪がwell-founded なものが存在するにはa#があれば十分」みたいな話でした。

くるる @kururu_goedel

@patho_logic あれ？そこは確かに何かが必要だと思うんですが、うちの同僚がω_1の全ての部分集合をカバーするにはフルのADが不可欠と即答で断言していたんですが。

蟆 @patho_logic

@kururu_goedel うーんちょっとわかりません。

蟆 @patho_logic

Pmax 強制法は影で巨大基数公理が暗躍してるけどどこで何が使われてるかがわからぬ。

蟆 @patho_logic

巨大基数関係の知識が足らんのだよな。

くるる @kururu_goedel

あ、Pmaxの話、それ系の話にとても詳しい人からメールで教えてもらったんで、時間があったらざっと書きます。誰得なんですが、一応あることないことつぶやき続けている人間の責務でしょうし。

くるる @kururu_goedel

Pmaxのこと、とりあえずざっくりと。

くるる @kururu_goedel

まず、Pmaxをやるモデル上に普通の巨大基数は不要。アウターモデルに存在する必要もなし。

くるる @kururu_goedel

Pmaxのこと続き。巨大基数そのものはモデルに必要ないけれども、generic ultrapowerをやるわけなのでprecipitous idealは存在しないといけないので可測基数は無いと困るし、一回やるだけじゃないからiterabilityが必要でつまりdaggerが必要。

くるる @kururu_goedel

Pmax続き。でも、それだけだとあまり嬉しくなくて、最後にできた部分モデルがω_1の部分集合を全て持つことが言えて欲しい、ここにはADが必要。