ぱにしさんが数学おしえてくださった件

ぱにし @panishi

@swiftnoble この辺は慣れないとちょっと難しいと思います…コンパクト性を上手く使うには、まず自分でKの開被覆を構成して、そこから有限個とってくる、ということをします。そのために、今度はKの点yを任意にとってきます。xはKでない点なので、明らかにxとyは異なります(続く)

Φ／ふぁい @Phi_Tank

コンパクト部分集合⇒閉に必要な仮定忘れた

ぱにし @panishi

@swiftnoble 今距離空間で考えているので、十分半径の小さい開球V_xとW_yで交わらないものがとれます(写真を参考に http://t.co/mo5PSFWW

拡大

ぱにし @panishi

@Phi_Tank Hausdorff

だみ〜 @guiltydammy

ぱにしさんやっぱガチやな

だみ〜 @guiltydammy

コンパクト性と戦うことなくワイは工学徒となったで

Φ／ふぁい @Phi_Tank

ハウスドルフな空間とか久しく扱ってないな

ぱにし @panishi

@swiftnoble ここで少し「せこい」ことをします。Kの点yは任意だったので、すべてのKの点yについてこのようなW_yをとってきます。そのようなW_yたちの合併はあきらかにKの開被覆です。(すべて開集合なのは作り方からおｋ。被覆なのもyはW_yに含まれるのでよいですね

はいね @heine__98

ばにしぃさんが真面目な話してるの初めて見た

ぱにし @panishi

@swiftnoble そです！なんで、この証明は距離空間じゃなく一般のハウスドルフ空間でも通用するのでちょっと気分いいわけです。

自称・新池 @shinike

ぱにしさんって数学の話できたんだ（失礼）

だみ〜 @guiltydammy

ぱにしさんは割りとガチ数学勢なの知らない人多すぎワロタ……

はいね @heine__98

ガチ数学勢だったのか…

ぱにし @panishi

@swiftnoble （ここで、Kの各点yについてW_yをとってくるのはちょっとせこい気もします。実はここで結構アレなことをしているのですが、直感的に明らか、で済ませられるのならあんま気にしなくてもいいと思います。気になるならあとでまた言及します）（続く）

ぱにし @panishi

エセです

ぱにし @panishi

普段からロクでもないことしか書いてないからな…

しゅんちゃん @swiftnoble

ここで自分がちょっとでもわかってることを反応で示せればいいのに、あんまりにも飲み込むのに時間がかかるもんで、授業中に黙ってノート取るしかできないクソイカ東みたいになってる

Φ／ふぁい @Phi_Tank

対偶の方が好き

ぱにし @panishi

@swiftnoble さて、これでKの開被覆が得られたので、やっとここでコンパクト性が使えます。つまり、有限個のW_1, ... , W_kでKを被覆出来ます。各W_jに対応するxの開近傍をV_jとします。V_jとW_jは交わらないんでしたね。（続く）

ぱにし @panishi

@swiftnoble U_x = V_1 ～V_kの共通部分、とおきます。これは、xの開近傍です(U_xがxを含むことは明らか、開集合の有限個の共通部分は開です。) U_xはどのW_jとも交わらないので、W_jたちの合併とも交わらない、つまりKとも交わりません。(あと少し

ぱにし @panishi

@swiftnoble 結局これで求めたかったU_xが得られました。よって、K^cは開、つまりKは閉です(終)

ぱにし @panishi

書き損じがないか不安だがたぶん大丈夫

ぱにし @panishi

@swiftnoble よかったよかった。距離空間の場合だと点列つかった証明法もあるけど、こっちの方がコンパクト性の使われ方が分かりやすいようにおもいます:)

Φ／ふぁい @Phi_Tank

わかったならいいや

ぱにし @panishi

ちなみにこのへんの話は松坂和夫先生の「集合・位相入門」に載ってます。あれは入門書としてかなりよいです(布教)