ぱにしさんが数学おしえてくださった件

しゅんちゃん @swiftnoble

コンパクトなら閉集合は系7.4のところに「示せ」って書いてあるわ

しゅんちゃん @swiftnoble

お前が示せよ

ぱにし @panishi

お前が示よわろた

ぱにし @panishi

その辺の話は数理科学1なのか…？1はとってなかったからようわからん

ぱにし @panishi

vですか

ぱにし @panishi

ハウスドルフ空間でコンパクト⇒閉集合の証明、普通の証明だと実は選択公理使っちゃってて、だけどなんか頑張ると回避できるみたいな話を前聞いたけど忘れた

ぱにし @panishi

開集合の有限個の共通部分はまた開なのでそこでコンパクト性つかいます

七草しろ @Nanakusa17

よくわからんけど、コンパクト性と同値になってる４つ目から導けるんじゃないの。

七草しろ @Nanakusa17

あーこれa∈Xに対してa_n→aって言ってないのか？

七草しろ @Nanakusa17

あ、完備だから大丈夫なのか。

七草しろ @Nanakusa17

(X,d)がコンパクトであることと、(X,d)の任意の点列(a_n)が収束する部分列を持つことと(X,d)が完備(かつ全有界)であることが同値で、またXの任意の収束する点列(a_n)がa_n→a∈XならばXは閉であるから(X,d)がコンパクトなら閉は言えるんじゃないの。

ぱにし @panishi

距離空間においてコンパクト性と点列コンパクト性が同値、というのを授業でやったのなら、(距離空間で)コンパクト⇒閉は案外簡単に出るのでは

七草しろ @Nanakusa17

「任意の点列が収束する部分列を持つ」から「任意の収束する部分列」に行っちゃっていいのかはわからんけど。

ぱにし @panishi

七草さんの言う通りかと

ぱにし @panishi

あと、収束列は部分列もおなじ値に収束とかを使えばおｋ

ぱにし @panishi

ただ正攻法としては、ある集合が閉を言いたいんだったら補集合が開を示したほうが良いような　こっちの証明は点列とか使うのではなく、被覆つくってそっから有限個とって～とか言う感じです

ぱにし @panishi

@swiftnoble Kをコンパクト集合だとします。これが閉であることを示すには、K^c(補集合)が開であることを言えばおｋです。そのために、Kに属さない点xを任意にとってきます。(Kがそもそも全体集合のときは閉なのは明らかなのでそういう場合は除いてます。)（続く）

ぱにし @panishi

@swiftnoble K^cが開であるのを言うには、xを含むある開集合U_xでKと交わらないものを作れば良いです(写真を参考にしてください) こういったU_xを構成するのにコンパクト性を用います。 http://t.co/XJg74sWH

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ぱにし @panishi

後は自分でできそうとか、そろそろうざくなってきたとかならやめますが、続けた方が良いでしょうか

しゅんちゃん @swiftnoble

わからなくても気にしてはいけない

しゅんちゃん @swiftnoble

コンパクト集合が閉集合だっていうのを示せそうで示せないです＞＜

しゅんちゃん @swiftnoble

ぱにしさんにヒント山ほどもらったのに……

しゅんちゃん @swiftnoble

これはばにしさんにごめんなさいしないといけないレベル

Φ／ふぁい @Phi_Tank

コンパクトの例:閉区間[0,1] たくさんの開区間で覆ってみても、これは0から1まで区間を渡り合ってくとそのうちちゃんと1にたどりつける

Φ／ふぁい @Phi_Tank

コンパクトじゃない例:開区間(0,1) たとえば、(1/2,1),(1/3,1),…なんかは(0,1)全体を覆うことができるけど、この中から有限個をとっても0の近くにどうしても点が残る