とある曲線 (curve) の3等分点 (trisector) 〜レムニスケートとワルツを〜 (3ページ目)

根が八つあって、格子上の八点の楕円関数の特殊値になっているので、なんか D_16 だったらいいとか思ったのですけど…

2013-01-31 18:53:40

名の知られた群として述べるなら，Polyhedral Group P(8,2,4) かもしれない．他に関係式がなければ．

2013-01-31 19:00:42

あっ、P(n,2,2)=D_{2n}, P(2,3,3)=A_4, P(2,3,4)=S_4 and P(2,3,5)=A_5 以外は finite でないと知られているらしい。そこらへんの間隔は分からないなあ…

2013-01-31 19:04:55

(xxy)^4=1 というのがあった。はじめの三つと独立しているかは分からないけど。

2013-01-31 19:07:09

Supercyclic (正規列の因子が Cyclic に取れる) でもあると．

2013-01-31 19:22:02

位数 16 の semi-dihedral group というものらしいです．x^8=y^2=1, xy=y(x^3) の三つが基本関係式になるようです．@yokoemon2112 @iwaokimura @kyon_math

2013-01-31 19:40:54

permgroup_named.py のソースから手あたり次第に試してみました．

2013-01-31 19:41:41

@_Cargese @yokoemon2112 @iwaokimura おめでとー．やっと決定できたんだねぇ．わたしも xy=y(x^3) か xy=yx^(-1) かしかないと思ってたんだけど，どっちか分からんかった．で，この2つは同型でない，と．

2013-01-31 22:01:56

@kyon_math @yokoemon2112 @iwaokimura 楕円レムニスケート関数 sn を用いて根は sn((n+im)4K/3) と表すことができます(0<=n,m<=2, (n,m)≠(0,0))．4K が周期です．このとき 1+i をこの楕円関数の中身に掛け

2013-02-01 02:09:41

@kyon_math @yokoemon2112 @iwaokimura ることで，根の置換が引き起こされます．この置換を xとおいて，共役による置換を y とおくと，実際に基本関係式がみたされました．Cox の示した C_8 が虚数乗法によって出てくることを考えると，

2013-02-01 02:12:41

@kyon_math @yokoemon2112 @iwaokimura よいように思うのです．

2013-02-01 02:13:00

そうか，基本周期ではなくて 4KZZ+4KiZZ を考えると Weierstrass 標準型は y^2=4x^3-1/4x か．基本周期 2(1+i)KZZ+2(1-i)KZZ では y^2=4x^3+x．

2013-02-01 06:56:41

@_Cargese @yokoemon2112 @iwaokimura 完璧．S_8 だと 8!=40,320 でバカでかいが，楕円関数の関係式や虚数乗法によりガロア群が著しく縮退している．クロネッカーの青春の夢を思い出す．＃かみさんにバカと言ってはいけないと戒められている

2013-02-01 09:21:53

@yokoemon2112

@kyon_math @_Cargese @iwaokimura これで解決ですね、いやはや、大変勉強になりました。そして最後の kyon さんのタグに笑いましたｗ

2013-02-01 11:03:19

@_cargese @kyon_math @yokoemon2112 周期<4K, (1+i)4K>を取ると，sln(u)=sn(u, i)=1/sqrt(wp(u))になるようです（slnはlemn.sin, snはJacobiのsn, wpはWeierstrass P）．

2013-02-01 15:58:08

@_Cargese @kyon_math @yokoemon2112 なので，sln()の等分点は，wp()の等分点の体の，さらに2次拡大を構成するわけですね．それはCox & Hyde 1208.2653v2 にもありますね．

2013-02-01 16:01:13

@_Cargese @kyon_math @yokoemon2112 またそのことから，E: y^2=x^3-x (j=1728)の3等分多項式3*x^4 - 6*x^2 - 1の相反多項式の符号を替えたものにx^2を代入したもの=sln()の3等分多項式も説明がつくようです．

2013-02-01 16:05:07

@iwaokimura @_Cargese @yokoemon2112 3*x^4-6*x^2-1 の相反多項式が -x^4-6*x^2+3（？）符号を替えて x^4+6*x ^2-3 そしてxにx^2を代入して x^8+6*x^4-3 というので合ってる？

2013-02-01 22:00:02

@iwaokimura @_Cargese @yokoemon2112 式をつぶやくのは疲れる．(^^;;

2013-02-01 22:00:24

@cocoatomo @_Cargese @yokoemon2112 @iwaokimura まとめ有り難うございます．なんかまだ続いているようですが，話が高度になるにつれて twitter では限界が出て来つつあるようです．黒板が欲しい．

2013-02-01 22:09:00